순열과 조합은 경우의 수를 세는 두 도구인데, 공식보다 "순서를 따지는가"를 먼저 판단하는 게 핵심입니다. 순서가 결과를 바꾸면 순열, 뽑기만 하면 조합입니다. 이 글은 두 공식의 뜻, nCr이 왜 nPr을 r!로 나눈 값인지, 뽑기 문제에서 어디서 틀리는지를 예제로 정리합니다. 공통수학2 '경우의 수'를 배우는 고1에게 맞습니다.
순열과 조합이란?
서로 다른 n개에서 r개를 뽑을 때, 뽑아서 나열하면 순열, 뽑기만 하면 조합입니다.
순열 nPr = n!/(n−r)! (순서 O) · 조합 nCr = nPr/r! = n!/{r!(n−r)!} (순서 X)
| 구분 | 기호 | 순서 | 대표 예 |
|---|---|---|---|
| 순열 | nPr | 따진다 | 회장·부회장 정하기, 자리 배치 |
| 조합 | nCr | 안 따진다 | 대표 2명, 팀원 뽑기 |
왜 조합은 r!로 나누나?
순열은 뽑은 r개를 일렬로 세우는 r!가지를 각각 다른 경우로 셉니다. 조합은 그 r!가지를 한 묶음으로 보므로, 순열을 r!로 나눠야 합니다.
- nPr = n(n−1)…(n−r+1) — 앞에서부터 r개 곱
- nCr = nPr ÷ r!
- nCr = nC(n−r) — 뽑는 것과 남기는 것은 같은 경우의 수
예제로 흐름 잡기
[예제] 5명 중 2명을 뽑을 때, (1) 회장·부회장을 정하는 경우와 (2) 대표 2명을 뽑는 경우의 수는?
풀이
- (1) 순서 O → 5P2 = 5×4 = 20
- (2) 순서 X → 5C2 = 20 ÷ 2! = 10
같은 '5명 중 2명'인데 답이 두 배 차이 납니다. 순서 유무 한 줄이 문제 전체를 가릅니다.
흔한 실수 3가지
- 순서 유무를 반대로 잡기 — '자리·순위·직책'이 나오면 순열, '뽑기·선택·조'면 조합입니다.
- 조합인데 r!로 안 나누기 — nPr까지 구하고 멈추면 중복해서 센 값이 됩니다.
- nCr 계산에서 약분 실수 — 5C2를 5!/2! 로 착각. 분모는 반드시 r!(n−r)! 입니다.
공식을 외우기 전에 "순서를 따지나?"를 먼저 묻는다 — 이 한 줄이 순열·조합의 절반이다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 순서 판단 같은 반복 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.