확률은 "얼마나 그럴듯한가"를 0과 1 사이의 수로 나타낸 것입니다. 이 단원의 뼈대는 세 가지입니다 — 확률을 어떻게 정의하는가(수학적·통계적), 어떤 성질을 만족하는가, 그리고 두 사건을 더할 때(덧셈정리) 겹침을 어떻게 처리하는가. 이 글은 이 셋을 검산된 예제와 함께 정리합니다. 확률과 통계 '확률'을 시작하는 고2, 경우의 수는 셀 줄 아는데 확률의 성질에서 헷갈리는 학생에게 맞습니다.
확률이란?
| 종류 | 정의 | 언제 |
|---|---|---|
| 수학적 확률 | (사건의 경우의 수)/(전체 경우의 수) | 모든 경우가 등가능 |
| 통계적 확률 | 상대도수 = (일어난 횟수)/(시행 횟수) | 실제 시행 데이터 |
시행 횟수가 커지면 통계적 확률은 수학적 확률에 가까워집니다(큰 수의 법칙). 확률 P(A)는 항상 다음 성질을 만족합니다.
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- 반드시 일어나는 사건 P(S) = 1, 절대 안 일어나는 사건 P(∅) = 0
- 여사건: P(Aᶜ) = 1 − P(A)
- 덧셈정리: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
예제로 흐름 잡기
[예제 1] 주사위 두 개를 던질 때 눈의 합이 7일 확률은?
풀이
- 전체 경우 6×6 = 36
- 합이 7: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) → 6가지
- 확률 = 6/36 = 1/6
[예제 2] 주사위 두 개를 던질 때 적어도 하나 6이 나올 확률은?
풀이
- 여사건(둘 다 6이 아님) = (5/6)×(5/6) = 25/36
- 구하는 확률 = 1 − 25/36 = 11/36
[예제 3] 카드 52장에서 한 장을 뽑을 때 스페이드 또는 그림카드(J,Q,K)일 확률은?
풀이
- P(스페이드)=13/52, P(그림)=12/52, P(스페이드∩그림)=3/52
- 덧셈정리: (13+12−3)/52 = 22/52 = 11/26
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 덧셈정리에서 겹침을 안 뺌 | P(A∩B) 누락 | 배반 아니면 반드시 빼기 |
| '적어도'를 직접 셈 | 경우 폭발 | 여사건 1−P(Aᶜ) |
| 배반과 여사건을 혼동 | 개념 미분리 | 배반=동시 불가, 여사건=반대 |
경우의 수를 세는 합의 법칙과 곱의 법칙이 분모·분자 계산의 바탕이 되고, 순열과 조합은 복잡한 사건의 경우의 수를 셀 때 쓰입니다.
흔한 오해 3가지
- "배반사건과 여사건은 같다" — 다릅니다. 여사건은 A와 Aᶜ로 전체를 딱 나누지만, 배반사건은 겹치지만 않을 뿐 둘을 합쳐 전체가 되진 않을 수 있습니다.
- "확률은 항상 1/(경우의 수)다" — 각 경우가 등가능할 때만 그렇습니다. 등가능하지 않으면 통계적 확률로 봐야 합니다.
- "덧셈정리는 항상 그냥 더한다" — 배반일 때만 그렇습니다. 겹치면 P(A∩B)를 빼야 합니다.
한 줄로 남기는 핵심
확률은 결국 경우의 수의 비율이고, 두 사건을 합칠 땐 겹친 만큼 빼는 것이 전부입니다. 조건이 걸린 확률로 넘어가면 이 분모가 바뀌는데, 그것이 조건부확률입니다.
'또는'은 더하되 겹침을 빼고, '적어도'는 반대를 세서 1에서 뺀다 — 확률 성질 문제의 두 열쇠.
TimeLevelUp은 확률과 통계를 경우의 수→확률→통계 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영합니다. 확률처럼 '정의와 성질이 촘촘한' 개념일수록, 제때 정리하고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.