원의 방정식은 같은 원을 두 가지 꼴로 씁니다. 중심과 반지름이 바로 보이는 표준형과, 전개해 정리한 일반형입니다. 이 둘을 자유롭게 오가는 열쇠는 완전제곱입니다. 이 글은 두 꼴의 관계, 일반형에서 중심·반지름을 읽는 순서, 자주 틀리는 지점을 예제로 정리합니다. 공통수학2 '도형의 방정식'을 배우는 고1에게 맞습니다.
원의 방정식 표준형과 일반형은?
중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원은 다음과 같이 씁니다.
표준형 (x−a)² + (y−b)² = r² · 일반형 x² + y² + Ax + By + C = 0
| 꼴 | 식 | 바로 보이는 것 |
|---|---|---|
| 표준형 | (x−a)²+(y−b)²=r² | 중심 (a, b), 반지름 r |
| 일반형 | x²+y²+Ax+By+C=0 | 전개된 계수 A, B, C |
| 원이 될 조건 | A²+B²−4C > 0 | 반지름²이 양수 |
일반형을 표준형으로 어떻게 바꾸나?
x, y 항을 각각 묶어 완전제곱을 만드는 것이 전부입니다.
- x끼리, y끼리 모으고 상수는 우변으로.
- 각 괄호를 완전제곱으로 만들며 더한 상수를 우변으로 이항.
- (x−a)²+(y−b)²=r² 꼴로 정리해 중심·반지름을 읽는다.
[예제] x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 의 중심과 반지름은?
풀이
- 묶기: (x²−6x) + (y²+4y) = 3
- 완전제곱: (x−3)²−9 + (y+2)²−4 = 3
- 정리: (x−3)² + (y+2)² = 16
- 따라서 중심 (3, −2), 반지름 4
공식으로 검산하면 중심 (−A/2, −B/2)=(3, −2), 반지름 (1/2)√(36+16+12)=(1/2)√64=4로 일치합니다.
흔한 오해 3가지
- "일반형이면 항상 원이다" — 아닙니다. A²+B²−4C ≤ 0이면 점 하나이거나 존재하지 않습니다.
- "완전제곱에서 더한 상수는 그냥 둔다" — 반드시 이항해야 합니다. 이걸 빠뜨리면 반지름이 통째로 틀립니다.
- "중심 부호는 계수 그대로" — 표준형 (x−a)²의 중심은 +a입니다. (x−3)²이면 중심 x좌표는 −3이 아니라 3입니다.
한 줄로 남기는 핵심
일반형이 나오면 계수를 노려보지 말고 완전제곱부터 하세요. 중심과 반지름은 표준형에서만 눈에 보입니다.
원의 방정식은 '외우는 공식'이 아니라 '완전제곱으로 되돌리는 절차'다 — 순서가 곧 정답이다.
TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다. 원의 방정식처럼 절차가 분명한 개념일수록, 제때 짚고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.