이항정리는 (a+b)ⁿ을 일일이 곱해 전개하지 않고, 각 항의 계수를 조합 ₙCᵣ로 바로 읽어내는 도구입니다. n개의 (a+b)를 곱할 때 "b를 몇 번 뽑느냐"가 곧 조합의 수이기 때문에, 계수가 조합으로 나오는 것은 우연이 아닙니다. 이 글은 일반항 공식이 왜 성립하는지, 특정 항의 계수를 구하는 법, 파스칼 삼각형과의 연결을 예제와 함께 정리합니다. 확률과 통계 '경우의 수'를 배우는 학생에게 맞습니다.
이항정리란?
자연수 n에 대해 (a+b)ⁿ은 다음과 같이 전개됩니다.
(a+b)ⁿ = Σ (r=0 to n) ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ₙC₂aⁿ⁻²b² + … + ₙCₙbⁿ
이때 aⁿ⁻ʳbʳ의 계수 ₙCᵣ 를 이항계수라고 합니다. 왜 조합일까요? (a+b)를 n번 곱한다는 건, n개의 괄호에서 각각 a나 b 중 하나를 고르는 일입니다. bʳ 항이 되려면 n개 중 b를 r개 고르는 경우의 수가 필요하고, 그게 바로 ₙCᵣ입니다.
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 일반항 | ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ (r=0,1,…,n) |
| 항의 개수 | n+1개 |
| 지수 규칙 | a의 지수 + b의 지수 = 항상 n |
| 계수 대칭 | ₙCᵣ = ₙCₙ₋ᵣ (양 끝에서 대칭) |
특정 항의 계수는 어떻게 구하나?
전개식 전체를 쓸 필요 없이 일반항 하나로 원하는 항만 뽑습니다.
- 일반항을 쓴다 — ₙCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ.
- 원하는 문자의 차수가 되도록 r을 정한다.
- 그 r을 대입해 계수를 계산한다 — ₙCᵣ와 상수 거듭제곱을 곱한다.
예제로 흐름 잡기
[예제] (x + 2)⁴ 의 전개식에서 x² 의 계수를 구하시오.
풀이
- 일반항: ₄Cᵣ x⁴⁻ʳ · 2ʳ.
- x²이 되려면 x의 차수 4−r = 2, 즉 r = 2.
- 계수: ₄C₂ · 2² = 6 · 4 = 24.
여기서 핵심은 상수 2의 거듭제곱 2ʳ을 빠뜨리지 않는 것입니다. 이항계수 ₄C₂=6만 답하면 틀립니다 — b자리에 있는 2가 r번 곱해지므로 2²=4를 반드시 함께 곱해야 합니다.
[예제 2] (x + 1/x)⁶ 의 상수항을 구하시오.
풀이
- 일반항: ₆Cᵣ x⁶⁻ʳ (1/x)ʳ = ₆Cᵣ x⁶⁻²ʳ.
- 상수항은 x의 차수 6−2r = 0, 즉 r = 3.
- 상수항: ₆C₃ = 20.
어디서 자주 막히나 — 계수 계산 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| ₙCᵣ만 답하고 상수 거듭제곱 누락 | bʳ의 상수 무시 | 계수 = ₙCᵣ × (상수)ʳ |
| r을 차수로 착각 | 일반항 지수 혼동 | x의 차수는 n−r, r부터 역산 |
| 항 개수를 n개로 씀 | r=0 빠뜨림 | (a+b)ⁿ은 n+1개 항 |
| 분수항에서 차수 계산 실수 | (1/x)ʳ=x⁻ʳ 누락 | 음의 지수까지 합쳐서 정리 |
흔한 오해 3가지
- "이항계수는 그냥 파스칼 삼각형에서 외운다" — 외워도 되지만, 본질은 순열과 조합의 ₙCᵣ입니다. "b를 몇 개 고르나"로 이해하면 큰 n에서도 계산됩니다.
- "x²의 계수는 ₙC₂다" — 상수가 붙은 항((x+2)ⁿ 등)에서는 상수의 거듭제곱까지 곱해야 진짜 계수입니다. ₙC₂만으로는 부족합니다.
- "a+b에서 a, b는 항상 문자다" — 숫자도 됩니다. (1+x)ⁿ에 x=1을 넣으면 ₙC₀+ₙC₁+…+ₙCₙ = 2ⁿ이라는 이항계수의 합 공식이 바로 나옵니다.
한 줄로 남기는 핵심
이항정리는 "n개 괄호에서 b를 r개 고르는 경우의 수가 곧 계수"라는 조합의 확장입니다. 특정 항은 일반항 ₙCᵣaⁿ⁻ʳbʳ에서 차수만 맞추면 됩니다.
(a+b)ⁿ을 전개하지 말고, 원하는 항 하나만 일반항으로 집어내라 — 이항정리는 "골라 쓰는" 공식이다.
이항계수의 합·대칭·파스칼 삼각형은 모두 조합의 성질에서 나오므로, 순열과 조합이 탄탄하면 이항정리는 그 응용입니다. 개념을 '안다'와 '특정 항을 뽑는다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 확률과 통계를 경우의 수→이항정리→확률의 순서로 배치하고, 상수 거듭제곱 누락 같은 반복 실수를 다음 계획에 다시 넣어 계수 감각이 흐트러지지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.