독립시행의 확률은 "같은 실험을 여러 번 반복할 때 특정 결과가 몇 번 나올까"를 계산하는 도구입니다. 동전을 10번 던져 앞면이 3번 나올 확률 같은 문제가 여기 속합니다. 이 글은 확률과 통계 '확률'을 배우는 학생을 위해 독립시행의 뜻, 핵심 공식, 그리고 정확히 r번 일어날 확률을 원본 예제와 검산으로 정리합니다.
독립시행이란?
독립시행은 같은 실험을 반복할 때 각 시행의 결과가 서로 영향을 주지 않는 경우입니다. 주사위를 여러 번 던지면 이전에 무엇이 나왔든 다음 던지기의 확률은 그대로 1/6입니다.
독립시행의 핵심은 "앞 결과가 뒤를 바꾸지 않는다" — 그래서 매번 확률 p가 그대로 곱해진다.
한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p이면, n번의 독립시행에서 A가 정확히 r번 일어날 확률은 다음과 같습니다.
P = ₙCᵣ · pʳ · (1−p)ⁿ⁻ʳ
| 부분 | 뜻 |
|---|---|
| pʳ | A가 일어난 r번의 확률을 곱함 |
| (1−p)ⁿ⁻ʳ | A가 안 일어난 나머지 (n−r)번 |
| ₙCᵣ | r번이 어느 회차에 오는지 자리를 고르는 경우의 수 |
ₙCᵣ가 왜 필요한지가 핵심입니다. "3번 던져 6이 1번"은 (첫 번째만 6), (두 번째만 6), (세 번째만 6) 세 가지 배치가 있으므로, 확률을 세 번 더해야 합니다. 그 개수가 바로 ₃C₁입니다.
예제로 흐름 잡기
[예제 1] 주사위를 3번 던질 때 6의 눈이 정확히 1번 나올 확률은?
풀이
- 한 번에 6이 나올 확률 p = 1/6, 안 나올 확률 5/6, n=3, r=1.
- P = ₃C₁ · (1/6)¹ · (5/6)² = 3 · (1/6) · (25/36) = 25/72.
- 검산: 75/216 = 25/72 ≈ 0.347. 세 자리(첫·둘·셋)에 각각 (1/6)(25/36)씩이라 3배가 맞습니다.
[예제 2] 동전을 4번 던질 때 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?
풀이
- p = 1/2, n=4, r=2.
- P = ₄C₂ · (1/2)² · (1/2)² = 6 · (1/16) = 3/8.
- 검산: 전체 경우 2⁴=16가지 중 앞면 2번인 배치가 ₄C₂=6가지 → 6/16 = 3/8 ✓.
독립과 종속을 어떻게 가르나?
가장 흔한 구분은 복원/비복원입니다. 뽑은 것을 다시 넣으면(복원 추출) 매번 확률이 같아 독립, 넣지 않으면(비복원) 앞의 결과가 남은 개수를 바꿔 종속이 됩니다. 종속이면 독립시행 공식이 아니라 조건부확률로 접근해야 합니다.
어디서 자주 막히나
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| ₙCᵣ를 빼먹음 | pʳ만 계산 | '어느 회차'를 고르는 자리 수 필수 |
| (1−p) 지수 실수 | n−r 대신 r 사용 | 안 일어난 횟수 = n−r |
| 종속인데 공식 적용 | 복원 여부 무시 | 비복원이면 조건부확률로 |
흔한 오해 3가지
- "독립시행이면 순서를 안 따진다" — 순서 자체는 안 따지지만, r번이 오는 '자리'를 세는 ₙCᵣ는 반드시 필요합니다. 이 조합이 순서에 대한 처리입니다.
- "확률이 큰 쪽이 항상 많이 나온다" — 기댓값은 np이지만, 정확히 r번의 확률은 분포를 따릅니다. '정확히 몇 번'과 '평균'은 다른 질문입니다.
- "두 사건이 배반이면 독립이다" — 배반(동시에 안 일어남)과 독립(서로 영향 없음)은 다른 개념입니다. 오히려 배반이면 대개 독립이 아닙니다.
한 줄로 남기는 핵심
독립시행의 확률은 ₙCᵣ pʳ (1−p)ⁿ⁻ʳ 한 줄이지만, ₙCᵣ의 의미(자리 고르기)를 놓치면 답이 틀립니다. 순열과 조합에서 조합을 세는 감각이 그대로 여기서 쓰입니다.
매번 확률 p가 반복되면 독립 — pʳ에 '어느 회차'를 고르는 ₙCᵣ를 곱하는 것이 공식의 전부다.
공식을 통째로 외우기보다 "자리 고르기 × 각 자리 확률"로 뜯어 이해하면 이항분포로 자연스럽게 이어집니다. TimeLevelUp은 확률처럼 앞뒤 개념이 촘촘히 엮이는 단원을 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.