합의 법칙과 곱의 법칙 — '동시에'면 곱, '또는'이면 더하는 법

합의 법칙과 곱의 법칙은 경우의 수를 세는 두 가지 기본 도구입니다. 핵심은 하나뿐입니다 — 두 사건이 '동시에(잇따라)' 일어나면 곱하고, '또는(둘 중 하나만)' 일어나면 더한다. 이 글은 언제 더하고 언제 곱하는지, '동시에'와 '또는'을 어떻게 가르는지, 학생들이 어디서 뒤집어 쓰는지를 예제와 함께 정리합니다. 공통수학1 '경우의 수'를 처음 배우는 고1, 그리고 순열·조합으로 넘어가기 전 기초를 다지려는 학생에게 맞습니다.

합의 법칙과 곱의 법칙이란?

두 사건 A, B가 있을 때, 각각이 일어나는 경우의 수를 m, n이라 하면 다음이 성립합니다.

곱의 법칙 — A 그리고 B가 잇따라 일어나는 경우의 수 = m × n 합의 법칙 — A 또는 B가 일어나는 경우의 수 = m + n (단, 동시에 일어나지 않을 때)

한 문제를 풀 때는 이렇게 판별합니다.

1. 사건이 여러 단계를 거쳐 완성되는가? → 각 단계 경우의 수를 곱한다.
2. 사건이 서로 다른 갈래 중 하나로 끝나는가? → 각 갈래 경우의 수를 더한다.
3. 갈래끼리 겹치는 경우가 있으면, 겹친 만큼 빼 준다(합의 법칙의 전제는 배반).

예제로 '곱'과 '합'을 함께 써 보면?

[예제] 집에서 도서관까지 가는데, 먼저 집에서 정류장까지 가는 길이 버스 3가지·자전거 2가지로 총 5가지 있고, 정류장에서 도서관까지 가는 길이 4가지 있다. 집에서 도서관까지 가는 경우의 수는?

풀이

• 집→정류장: '버스 또는 자전거'이므로 합의 법칙 → 3 + 2 = 5가지
• 집→정류장 그리고 정류장→도서관: 두 단계가 잇따르므로 곱의 법칙 → 5 × 4 = 20가지
• 답: 20가지

검산하면, 버스로 가는 길 3가지 각각에 도서관행 4가지 → 3×4=12, 자전거 2가지 각각에 4가지 → 2×4=8, 합쳐서 12+8=20으로 같습니다. 한 문제 안에서 '또는'(합)과 '그리고'(곱)가 어떻게 함께 쓰이는지가 이 단원의 핵심입니다.

어디서 자주 막히나 — 판별 흐름 점검

흔한 오해 3가지

1. "경우의 수 문제는 무조건 곱하면 된다" — 아닙니다. 갈래로 나뉘는(배반) 상황은 더해야 합니다. 곱과 합을 가르는 건 계산이 아니라 문장 구조입니다.
2. "합의 법칙은 그냥 더하면 끝이다" — 두 경우가 겹치면 중복이 생깁니다. '2의 배수 또는 3의 배수'처럼 겹칠 수 있는 경우는 겹친 6의 배수를 빼야 합니다(포함배제).
3. "곱의 법칙은 항상 m×n 그대로다" — 앞 단계 선택이 뒤 단계를 제한하면(같은 것을 다시 못 쓰는 등) 뒤 단계 수가 줄어듭니다. 이 줄어드는 곱이 곧 순열입니다.

한 줄로 남기는 핵심

경우의 수는 계산이 아니라 분류입니다. 곱셈·덧셈을 고르기 전에 "이 사건은 단계로 이어지는가, 갈래로 갈리는가"부터 판별하는 습관이 순열·조합까지 그대로 이어집니다.

'동시에'는 곱, '또는'은 합 — 문제의 접속사가 연산을 정한다. 이 한 줄이 경우의 수의 출발점입니다.

곱의 법칙에서 '앞 선택이 뒤를 제한하는' 경우를 정식으로 다루면 순열과 조합 — 순서를 따지면 P, 안 따지면 C로 가르는 법으로 이어집니다. 순열·조합이 흔들린다면 대개 이 합·곱의 판별에서 이미 막혀 있는 경우가 많습니다. TimeLevelUp은 이렇게 '선수 개념이 후속 단원을 떠받치는' 구조를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, 경우의 수처럼 뒤로 갈수록 누적되는 단원에서 앞 개념의 구멍이 남지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.