평행이동과 대칭이동은 점이나 도형을 규칙에 따라 옮기는 도구입니다. 핵심은 점을 옮길 때와 도형(방정식)을 옮길 때 부호가 다르다는 것 하나입니다. 이 글은 평행이동·대칭이동 공식이 왜 그렇게 나오는지, 부호를 어떻게 구분하는지, 학생들이 어디서 자주 틀리는지를 예제와 함께 정리합니다. 공통수학2 '도형의 방정식'을 배우는 고1에게 맞습니다.
평행이동이란?
점 (x, y)를 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 옮기면 (x+a, y+b) 가 됩니다. 그런데 도형 f(x, y) = 0을 같은 방향으로 옮기면 식은 f(x−a, y−b) = 0 이 됩니다. 부호가 반대죠.
점은 +a, +b로 더하고, 도형의 식은 x−a, y−b로 뺀다 — 이 차이가 평행이동의 전부입니다.
왜 반대일까요? 옮긴 도형 위의 점 (X, Y)는 원래 도형의 점 (X−a, Y−b)가 이동해 온 것입니다. 그 원래 점이 f = 0을 만족하므로 f(X−a, Y−b) = 0, 곧 새 식은 x 자리에 x−a, y 자리에 y−b를 넣은 꼴이 됩니다.
대칭이동은 어떻게 되나?
점 (x, y)를 각 대상에 대해 대칭이동하면 다음과 같습니다.
| 대칭 대상 | 점의 이동 | 도형 f(x,y)=0의 식 |
|---|---|---|
| x축 | (x, −y) | f(x, −y) = 0 |
| y축 | (−x, y) | f(−x, y) = 0 |
| 원점 | (−x, −y) | f(−x, −y) = 0 |
| 직선 y=x | (y, x) | f(y, x) = 0 |
대칭이동은 바뀌는 변수에 부호를 붙이거나 자리를 바꾸는 것으로 통일됩니다. x축 대칭은 y만 뒤집고, 원점 대칭은 둘 다 뒤집고, y=x 대칭은 x와 y를 통째로 교환합니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] 원 (x−1)² + (y+2)² = 4를 x축의 방향으로 3, y축의 방향으로 −1만큼 평행이동한 도형의 방정식은?
- 평행이동은 x 자리에 x−3, y 자리에 y−(−1)=y+1을 넣습니다.
- (x−3−1)² + (y+1+2)² = 4
- 정리하면 (x−4)² + (y+3)² = 4
중심이 (1, −2)에서 (4, −3)으로 옮겨졌습니다. 중심만 (a, b)만큼 이동하고 반지름은 그대로라는 점을 확인하면 검산이 됩니다.
흔한 실수 3가지
- 점 이동과 도형 이동의 부호를 섞는다 — 점은 +a·+b, 도형의 식은 x−a·y−b. 가장 많이 나오는 실수입니다.
- 원점 대칭과 y=x 대칭을 혼동한다 — 원점 대칭은 부호 둘 다 반전, y=x 대칭은 x·y 자리 교환. 성격이 다릅니다.
- 대칭이동을 두 번 한 걸 한 번으로 착각한다 — x축 대칭 후 y축 대칭은 결국 원점 대칭과 같습니다. 순서대로 하나씩 적용하세요.
한 줄로 남기는 핵심
평행이동·대칭이동은 외우는 게 아니라 "점이 어디서 왔는가" 를 되짚으면 부호가 저절로 정해집니다.
점은 그대로 더하고, 도형의 식은 반대로 넣는다 — 헷갈릴 땐 이 한 줄로 돌아오세요.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 부호 실수 같은 반복 오류가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.