중복순열과 중복조합은 "한 번 뽑은 것을 다시 뽑아도 되는가"를 허용한 세기입니다. 순열·조합이 '뽑으면 끝'이라면, 이 둘은 같은 대상을 반복해 선택할 수 있습니다. 이 글은 확률과 통계 '경우의 수'를 배우는 학생을 위해 두 공식의 정의와 차이를 정리하고, 방정식 해의 개수에 왜 중복조합이 나오는지 검산한 예제로 확인합니다.
중복순열·중복조합이란?
핵심 갈림길은 순서와 중복 두 축입니다. 순서를 따지면 순열 계열, 안 따지면 조합 계열이고, 다시 뽑기를 허용하면 '중복'이 붙습니다. 순서·중복이 없는 기본형은 순열과 조합에서 다뤘습니다.
순서를 따지면 Π, 안 따지면 H — 여기에 '다시 뽑아도 됨'이 얹힌 게 중복순열·중복조합이다.
| 구분 | 순서 | 중복 | 공식 |
|---|---|---|---|
| 순열 ₙPᵣ | O | X | n!/(n−r)! |
| 조합 ₙCᵣ | X | X | n!/{r!(n−r)!} |
| 중복순열 ₙΠᵣ | O | O | nʳ |
| 중복조합 ₙHᵣ | X | O | ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ |
중복순열은 왜 nʳ인가?
r개의 자리를 하나씩 채우는데, 매 자리마다 n개 모두 다시 후보가 됩니다. 자리마다 n가지씩 r번이므로 n×n×…×n = nʳ. 자물쇠 비밀번호나 '0~9로 만드는 세 자리 수' 같은 문제가 대표적입니다.
중복조합은 왜 n+r−1Cr인가?
순서가 없으니 '어느 종류를 몇 개 골랐나'만 남습니다. 이를 공 r개와 칸막이 (n−1)개를 한 줄로 배열하는 문제로 바꾸면, 전체 (n−1+r)자리 중 공의 위치를 고르는 것과 같아 ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ 가 됩니다.
예제로 검산하면?
[예제 1] 숫자 1, 2, 3 세 개로 만들 수 있는 네 자리 수의 개수는? (같은 숫자 반복 허용)
풀이
- 네 자리를 각각 1·2·3 중 하나로 → 중복순열 ₃Π₄ = 3⁴ = 81
- 검산: 자리마다 3가지, 4자리 → 3×3×3×3 = 81 일치.
[예제 2] 3종류의 사탕에서 중복을 허용해 5개를 고르는 경우의 수는?
풀이
- 순서 없음 + 중복 허용 → 중복조합 ₃H₅ = ₃₊₅₋₁C₅ = ₇C₅ = 21
- 검산: ₇C₅ = ₇C₂ = 21 일치.
[예제 3] 방정식 x+y+z=10 의 음이 아닌 정수해의 개수는?
풀이
- 10을 세 변수에 나눠 담기 → 3종류에서 10개 뽑기 → ₃H₁₀ = ₁₂C₁₀ = ₁₂C₂ = 66
- 검산: ₁₂C₂ = (12·11)/2 = 66 일치.
어디서 자주 막히나?
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| Π와 H를 반대로 | 순서 판단 실수 | 나열=Π, 뽑기만=H |
| H 공식의 위 첨자 | n+r−1을 헷갈림 | 아래는 r, 위는 n+r−1 |
| 방정식 해에 순열 씀 | 순서 있다고 오판 | 변수에 담기는 순서 없음 → H |
흔한 오해 3가지
- "중복순열도 팩토리얼로 계산" — 아닙니다. 다시 뽑기가 되니 nʳ 로 단순 거듭제곱입니다.
- "중복조합은 조합의 변형이라 nCr로 근사" — 값이 다릅니다. 반드시 n+r−1Cr 로 위 첨자를 늘립니다.
- "r이 n보다 크면 중복조합은 불가" — 가능합니다. 중복을 허용하므로 r>n이어도 값이 존재합니다(예: ₃H₁₀).
경우의 수 감각은 이항정리·확률로 곧장 이어집니다. 조합이 계수로 등장하는 이항정리와, '동시에·또는'으로 세기의 뼈대를 잡는 합의 법칙과 곱의 법칙을 함께 보면 세기 전체가 한 줄로 꿰입니다.
다시 뽑아도 되는가 — 이 한 질문이 P·C를 Π·H로 바꾸는 스위치다.
세기 문제는 공식보다 '순서·중복 판단'이 먼저입니다. TimeLevelUp은 순열·조합에서 중복순열·중복조합으로 이어지는 순서로 개념을 배치하고, Π/H 혼동처럼 반복해 틀리는 지점을 복습 계획에 반영해 세기의 기준선을 세워 줍니다.
최종 점검 2026-09-26 — nΠr·nHr·방정식 해 개수를 예제로 검산해 확인했습니다.