벡터의 내적은 두 벡터를 곱해 하나의 수(스칼라)를 얻는 연산으로, 두 벡터 사이의 각도와 수직 여부를 계산으로 바꿔 줍니다. '화살표의 곱'이 왜 수가 되는지만 이해하면, 수직·각도 문제가 단순 계산이 됩니다. 이 글은 내적의 정의, 수직 조건, 사잇각 구하는 법을 예제와 검산으로 정리합니다. 기하 '벡터' 단원을 배우는 고2~고3에게 맞습니다. 벡터의 연산을 먼저 보면 성분 계산이 수월합니다.
벡터의 내적이란?
a · b = |a| |b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ (θ는 두 벡터 사이 각)
핵심은 결과가 방향 없는 수라는 점입니다. 성분으로는 같은 성분끼리 곱해 더합니다.
| 표현 | 식 | 쓰임 |
|---|---|---|
| 정의(기하) | a | |
| 성분(계산) | a₁b₁ + a₂b₂ | 빠른 계산 |
| 자기 자신 | a·a = | a |
두 식이 같다는 것이 내적의 힘입니다. 왼쪽(각도)과 오른쪽(성분)을 등호로 이어 각도를 계산으로 구합니다.
왜 내적으로 각도를 구하나?
[예제 1] a = (1, 2), b = (3, −1)일 때 a·b와 두 벡터 사이 각 θ를 구하라.
풀이·검산
- a·b = 1·3 + 2·(−1) = 3 − 2 = 1 ✓
- |a| = √5, |b| = √10
- cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 1/(√5·√10) = 1/√50 ≈ 0.1414
- θ ≈ 81.9° ✓ (√50 ≈ 7.07, 1/7.07 ≈ 0.1414)
각을 직접 재지 않고 성분 곱 → cosθ → θ 순서로 구합니다.
수직 조건 — 내적이 0이면 직각
θ = 90°이면 cos 90° = 0이므로 a·b = 0. 거꾸로 내적이 0이면 두 벡터는 수직입니다.
[예제 2] a = (2, 3)과 b = (3, k)가 수직이 되는 k는?
풀이·검산
- 수직 ⇔ a·b = 0: 2·3 + 3·k = 0 → 6 + 3k = 0 → k = −2
- 확인: 2·3 + 3·(−2) = 6 − 6 = 0 ✓
도형에서 '수직'이라는 조건이 주어지면, 좌표로 옮긴 뒤 내적 = 0 한 줄로 처리합니다. 이는 두 직선의 평행·수직 조건을 기울기 대신 벡터로 다루는 방법이기도 합니다.
크기와 내적의 연결
a·a = |a||a|cos0° = |a|² 입니다. 즉 크기의 제곱이 자기 자신과의 내적입니다. 이 성질로 |a+b|² 같은 식을 전개할 수 있습니다.
|a+b|² = (a+b)·(a+b) = |a|² + 2(a·b) + |b|²
어디서 자주 막히나
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 내적을 벡터로 착각 | 결과 차원 오해 | 내적은 스칼라(수) |
| cosθ에서 | a | |
| 수직 조건을 기울기로만 | 벡터 관점 부재 | 수직 ⇔ a·b = 0 |
흔한 오해 3가지
- "내적도 방향이 있다" — 내적은 수(스칼라)입니다. 방향이 있는 곱은 공간에서의 외적(고교 범위 밖)입니다.
- "a·b = 0이면 둘 중 하나가 영벡터다" — 둘 다 0이 아니어도 수직이면 내적이 0입니다.
- "내적은 교환이 안 된다" — a·b = b·a로 교환법칙이 성립합니다.
한 줄로 남기는 핵심
내적은 '두 벡터가 얼마나 같은 방향을 보는가'를 하나의 수로 압축한 것입니다.
각도나 수직이 걸린 문제가 나오면 내적을 떠올린다 — 기하 조건이 cosθ 한 줄로 계산이 됩니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 기하의 내적처럼 선수 개념(벡터의 연산)이 받쳐줘야 하는 단원을, 정의부터 수직·각도 응용까지 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해 개념이 끊기지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.