쌍곡선의 방정식 — 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들

쌍곡선은 평면 위의 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들의 자취입니다. 타원이 '거리의 합'으로 정의된 닫힌 곡선이라면, 쌍곡선은 '거리의 차'로 정의된 두 갈래로 벌어진 곡선입니다. 이 글은 기하 '이차곡선'을 배우는 학생을 위해 표준형과 초점·꼭짓점·점근선을 정리하고, 검산한 예제로 c²=a²+b²와 거리 차 2a를 확인합니다.

쌍곡선이란?

두 초점 F, F′에서 거리의 차 ||PF|−|PF′|| = 2a (단, 2a < FF′)가 일정한 점 P의 집합이 쌍곡선입니다. 초점이 x축 위 (±c, 0)에 있을 때 표준형은 다음과 같습니다.

쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1, 초점 (±c, 0), c² = a² + b²

표준형에서 무엇을 읽나?

풀이 순서는 세 단계입니다.

1. 분모 확인 — x² 항의 분모가 a², y² 항의 분모가 b². 양수 항이 붙은 축(여기선 x축) 방향으로 곡선이 열립니다.
2. c 계산 — 타원과 달리 c² = a² + b² 로 두 분모를 더합니다. 부호를 타원과 헷갈리면 초점이 통째로 틀립니다.
3. 점근선 — y = ±(b/a)x 두 직선을 먼저 그어 뼈대를 잡고, 그 사이로 곡선을 채웁니다.

예제로 검산하면?

[예제] 쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1 의 초점과 점근선을 구하고, 점 P가 이 쌍곡선 위에 있을 때 두 초점까지 거리의 차를 구하시오.

풀이

• a²=9 → a=3, b²=16 → b=4, c²=9+16=25 → c=5
• 초점 (±5, 0), 꼭짓점 (±3, 0), 점근선 y=±(4/3)x
• 거리의 차 = 2a = 6
• 검산: 점 (3√2, 4)는 (3√2)²/9 − 16/16 = 18/9 − 1 = 2 − 1 = 1 로 곡선 위. 두 초점 (5,0)·(−5,0)까지 거리 차의 절댓값은 6으로 정의값과 일치.

타원과 무엇이 다른가?

같은 '두 초점' 정의라도 조건이 정반대라 표를 나란히 두면 헷갈리지 않습니다. 타원의 전체 정리는 타원의 방정식에서 다뤘습니다.

어디서 자주 막히나?

흔한 오해 3가지

1. "c가 a보다 작다" — 타원 감각을 그대로 가져온 오해입니다. 쌍곡선은 c²=a²+b²라 c가 가장 큽니다.
2. "점근선은 곡선의 일부다" — 아닙니다. 곡선이 무한히 다가가지만 닿지 않는 기준선입니다.
3. "거리의 차는 방향이 있다" — 두 초점 어느 쪽이 가까운지에 따라 부호가 갈리므로 절댓값으로 2a입니다.

원·포물선·타원·쌍곡선은 모두 이차식으로 표현되는 한 가족이고, 접선을 세우거나 위치 관계를 판정할 때 쓰는 도구(판별식·거리 비교)도 공유합니다. 원의 판정 감각은 두 원의 위치 관계에서, 접선은 이차곡선의 접선에서 이어집니다.

타원은 '합', 쌍곡선은 '차' — 이 한 글자 차이가 관계식 부호와 곡선 모양을 통째로 가릅니다.

이차곡선은 정의 한 줄과 관계식 하나만 정확히 잡으면 나머지가 따라옵니다. TimeLevelUp은 포물선·타원·쌍곡선을 같은 단원 흐름으로 배치하고, 관계식 부호처럼 자주 틀리는 지점을 복습 주기에 넣어 헷갈림이 굳지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.

최종 점검 2026-09-26 — 초점·점근선·거리 차를 예제로 검산해 확인했습니다.