삼수선 정리는 공간에서 흩어져 있는 세 개의 수직 관계를 하나로 묶어 주는 도구입니다. 공간도형 문제는 수직이 어디에 걸려 있는지 보이지 않아 막히는데, 삼수선 정리는 "평면에 수직인 선"과 "평면 위의 수직"을 연결해 점과 직선 사이 최단 거리를 평면 위 피타고라스 계산으로 바꿔 줍니다. 이 글은 정리가 왜 성립하는지, 어떻게 쓰는지, 어디서 자주 틀리는지를 검산한 예제와 함께 정리합니다. 기하 '공간도형과 공간좌표'를 배우는 학생에게 맞습니다.
삼수선 정리란 무엇인가?
평면 α, α 위에 있지 않은 점 P, P에서 α에 내린 수선의 발 H를 생각합니다(즉 PH ⊥ α). α 위에 직선 ℓ이 있고, H에서 ℓ에 내린 수선의 발을 O라 하면(HO ⊥ ℓ), 다음이 성립합니다.
PH ⊥ α 이고 HO ⊥ ℓ 이면 PO ⊥ ℓ
세 수직 관계 PH⊥α, HO⊥ℓ, PO⊥ℓ 중 두 개가 성립하면 나머지 하나가 자동으로 따라옵니다. 그래서 '삼(三)수선'입니다. 세 가지 꼴을 표로 정리하면 이렇습니다.
| 아는 것 | 결론 | 쓰임 |
|---|---|---|
| PH⊥α, HO⊥ℓ | PO⊥ℓ | 점 P에서 ℓ까지 최단 거리 = PO |
| PH⊥α, PO⊥ℓ | HO⊥ℓ | 평면 위 수선의 발 찾기 |
| PO⊥ℓ, HO⊥ℓ, PH⊥HO | PH⊥α | 평면에 수직임을 증명 |
왜 PO가 ℓ에 수직인가?
직선 ℓ은 평면 α 위에 있으므로 수선 PH와 수직입니다(PH⊥α이면 α 위 모든 직선과 수직). 또 가정에서 HO⊥ℓ입니다. 즉 ℓ은 PH, HO 두 직선 모두와 수직이므로, 이 두 직선이 결정하는 평면(PHO를 품은 평면) 전체와 수직입니다. PO는 그 평면 위에 있으니 ℓ과 수직, 곧 PO⊥ℓ 입니다. 핵심은 "한 직선이 평면 위 두 직선과 수직이면 그 평면과 수직"이라는 직선과 평면의 수직 판정입니다.
풀이는 어떤 순서로 하나?
- 평면 α와 그 위에 있지 않은 점 P를 확인하고, PH⊥α 가 되는 수선의 발 H를 잡는다.
- 거리를 재려는 직선 ℓ을 α 위에서 찾는다.
- H에서 ℓ에 수선을 내려 발 O를 잡는다(HO⊥ℓ).
- 삼수선 정리로 PO⊥ℓ. 직각삼각형 PHO(직각은 H)에서 PO = √(PH² + HO²).
예제로 흐름 잡기
[예제] 평면 α에 수직인 선분 PH의 길이가 3이고, α 위의 직선 ℓ과 수선의 발 H 사이 거리 HO가 4다. 점 P에서 직선 ℓ까지의 최단 거리 PO는?
풀이
- 삼수선 정리: PH⊥α, HO⊥ℓ 이므로 PO⊥ℓ. 따라서 PO가 점 P에서 ℓ까지의 최단 거리.
- 삼각형 PHO는 ∠H = 90°이므로 PO = √(PH² + HO²) = √(3² + 4²) = √25 = 5.
- 검산(좌표): α를 xy평면, P(0, 0, 3), H(0, 0, 0)로 두고 ℓ을 점 (t, 4, 0)들의 집합(x축에 평행)이라 하자. H에서 ℓ까지 수선의 발은 O(0, 4, 0)이고 HO=4. PO 벡터 = (0, 4, −3)이고 ℓ의 방향 (1, 0, 0)과 내적 0 → PO⊥ℓ 확인. |PO| = √(16+9) = 5 로 일치. ✅
3-4-5 직각삼각형이 공간 문제 안에 숨어 있었던 셈입니다. 보이지 않던 직각삼각형 PHO를 꺼내는 것이 삼수선 정리의 전부입니다.
어디서 자주 막히나 — 수직 짚기
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 어느 선이 PO·HO인지 헷갈림 | 수선의 발 H·O 구분 실패 | H는 평면에, O는 직선에 내린 발 |
| PO를 빗변이 아닌 변으로 계산 | 직각 위치 착각 | 직각은 ∠H, PO가 빗변 |
| 평면에 수직 PH를 ℓ과 따로 봄 | 판정 미적용 | PH⊥α면 α 위 모든 직선과 수직 |
| 최단 거리를 PH로 답함 | 거리 정의 혼동 | 점→직선 최단은 PO, 점→평면 최단이 PH |
점과 평면 사이의 최단 거리는 PH, 점과 직선 사이의 최단 거리는 PO로 서로 다릅니다. 2차원에서 꺾인 경로를 펴서 최단 거리를 구하던 대칭이동으로 최단 거리 구하기의 발상이, 공간에서는 "수직을 어디에 세우는가"로 옮겨 온 것입니다.
흔한 오해 3가지
- "세 수직을 다 증명해야 쓸 수 있다" — 아닙니다. 셋 중 둘을 알면 나머지는 정리로 보장됩니다. 그게 이 정리의 목적입니다.
- "PH와 HO가 같은 평면에 있어야 한다" — PH는 평면 α에 수직이고 HO는 α 위에 있으니 방향이 다릅니다. 둘은 H에서 만나 직각삼각형 PHO를 만들 뿐입니다.
- "공간좌표를 꼭 세워야 한다" — 좌표 없이 삼수선 정리 + 피타고라스만으로 대부분 풀립니다. 좌표는 공간좌표와 두 점 사이의 거리처럼 위치가 숫자로 주어질 때 검산용으로 쓰면 됩니다.
한 줄로 남기는 핵심
삼수선 정리는 "공간의 수직 세 개 중 둘을 알면 하나가 공짜"라는 정리입니다. 복잡해 보이는 공간 거리 문제도 직각삼각형 PHO 하나로 좁혀집니다.
평면에 수선 하나(PH), 직선에 수선 하나(HO) — 그 순간 PO⊥ℓ이 보장되고, 남은 건 피타고라스뿐입니다.
개념을 '안다'와 '공간에서 꺼내 쓴다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 기하를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 공간도형처럼 한 번 막히면 계속 막히는 유형을 다음 계획에 반영해 같은 지점에서 반복해 넘어지지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.