이차곡선의 접선은 곡선과 한 점에서만 만나는 직선입니다. 원·포물선·타원·쌍곡선은 모두 이차식이라, 접선을 세우는 방법도 접점 공식과 판별식=0 두 가지로 통일됩니다. 이 글은 기하 '이차곡선'을 배우는 학생을 위해 곡선별 접점 공식을 표로 모으고, 판별식으로 접선을 검산한 예제를 정리합니다.
접선을 세우는 두 갈래는?
문제가 주는 정보에 따라 전략이 갈립니다.
- 접점이 주어짐 → 곡선별 접점 공식에 좌표 대입. 계산이 짧습니다.
- 기울기나 지나는 점만 주어짐 → 직선을 곡선에 대입 → 정리한 이차방정식의 판별식=0. 접하는 조건을 방정식으로 잡습니다.
접점을 알면 공식, 모르면 판별식 — 이 갈림길만 정하면 이차곡선 접선은 절반이 끝난다.
곡선별 접점 공식은?
곡선 위 점 (x₁, y₁)에서의 접선은 원래 식에서 한 문자씩 접점 좌표로 바꿔치기하는 규칙을 공유합니다.
| 곡선 | 표준형 | 접점 (x₁,y₁)에서의 접선 |
|---|---|---|
| 원 | x²+y²=r² | x·x₁ + y·y₁ = r² |
| 포물선 | y²=4px | y·y₁ = 2p(x + x₁) |
| 타원 | x²/a²+y²/b²=1 | x·x₁/a² + y·y₁/b² = 1 |
| 쌍곡선 | x²/a²−y²/b²=1 | x·x₁/a² − y·y₁/b² = 1 |
원의 접선 공식이 익숙하다면 나머지는 같은 패턴입니다. 원 접선의 세부는 원의 접선의 방정식에서 다뤘습니다.
예제로 검산하면?
[예제 1] 포물선 y²=8x 위의 점 (2, 4)에서의 접선을 구하시오.
풀이
- y²=8x는 4p=8 → p=2. 접점 공식 y·y₁=2p(x+x₁)에 (x₁,y₁)=(2,4) 대입: 4y = 4(x+2) → y = x + 2
- 검산: y=x+2를 y²=8x에 대입 → (x+2)²=8x → x²−4x+4=0 → (x−2)²=0. 중근 x=2 → 한 점에서만 만남(접함) 확인.
[예제 2] 타원 x²/25 + y²/16 = 1 위의 점 (3, 16/5)에서의 접선을 구하시오.
풀이
- 접점 공식: 3x/25 + (16/5)y/16 = 1 → 3x/25 + y/5 = 1 → 양변 25배 → 3x + 5y = 25
- 검산: 점이 곡선 위인지 먼저 확인 — 9/25 + (16/5)²/16 = 9/25 + 16/25 = 1 ✓. 직선을 타원에 대입해 정리하면 판별식이 0이 되어 접함 확인.
판별식으로 언제 푸나?
접점을 모르고 기울기 m만 주어졌다면, y=mx+n을 곡선에 대입해 x에 대한 이차방정식으로 정리한 뒤 판별식=0을 풉니다. 이 '대입 → 판별식=0' 흐름은 원과 직선이 접할 조건과 완전히 같습니다 — 원과 직선의 위치 관계에서 판별식이 교점 수를 어떻게 가르는지 확인해 두면 이차곡선에도 그대로 옮겨집니다.
어디서 자주 막히나?
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 접점이 곡선 위인지 안 봄 | 공식 먼저 대입 | 공식 전에 곡선 위 여부 확인 |
| 판별식 부호 헷갈림 | 교점 수 규칙 불명확 | D>0 두 점, D=0 접함, D<0 없음 |
| 포물선 접점 공식 오류 | y² 항 처리 실수 | y항만 y·y₁, x는 (x+x₁)/2 대칭 |
흔한 오해 3가지
- "접선은 곡선을 한 번만 스친다" — 국소적으로는 맞지만, 쌍곡선처럼 갈래가 둘이면 접선이 다른 갈래와 또 만날 수 있습니다. '접점 근방에서 한 점'이 정확한 표현입니다.
- "판별식은 원에서만 쓴다" — 아닙니다. 직선을 대입해 이차방정식이 되는 모든 이차곡선에 통합니다.
- "접점 공식은 외울 게 넷" — 규칙은 하나입니다. x²→x·x₁, y²→y·y₁, x→(x+x₁)/2로 차수를 내리는 한 규칙의 변형입니다.
쌍곡선을 포함한 이차곡선 전체의 정의는 쌍곡선의 방정식과 타원의 방정식에서 이어집니다.
접점을 알면 공식, 모르면 판별식 — 이차곡선 접선은 이 두 문장이 전부다.
접선은 미분·기하·해석기하가 만나는 길목이라, 한 방법으로 통일해 두면 응용이 편합니다. TimeLevelUp은 원에서 시작한 접선 감각을 포물선·타원·쌍곡선으로 확장하는 순서로 개념을 배치하고, 판별식 부호처럼 반복해 틀리는 지점을 복습 계획에 반영합니다.
최종 점검 2026-09-26 — 접점 공식과 판별식=0을 예제로 각각 검산해 확인했습니다.