공간좌표는 평면의 (x, y)에 높이 z를 한 칸 더 붙인 좌표입니다. 그래서 두 점 사이의 거리·내분점·중점 공식은 모두 평면 공식에 z 항을 하나 더하면 끝입니다. 새 공식을 외우는 단원이 아니라, 아는 공식을 세 칸으로 확장하는 단원이죠. 이 글은 거리·내분점·중점이 왜 그렇게 생겼는지와 어디서 부호·분모를 흘리는지를 검산한 예제로 정리합니다. 기하 '공간도형과 공간좌표'를 배우는 학생에게 맞습니다.
공간에서 두 점 사이의 거리는 어떻게 구하나?
공간의 두 점 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) 사이의 거리는 다음과 같습니다.
AB = √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²}
평면 거리 공식 √{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²}에 (z₂−z₁)² 한 항이 더 붙었을 뿐입니다. 왜 그럴까요? 직육면체의 대각선을 떠올리면, 밑면 대각선을 피타고라스로 구하고 그 대각선과 높이로 다시 피타고라스를 쓰면 피타고라스를 두 번 적용한 결과가 위 공식입니다.
| 상황 | 공식 | 평면과의 차이 |
|---|---|---|
| 두 점 거리 | √{Δx²+Δy²+Δz²} | +Δz² 한 항 |
| 중점 M | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) | z 좌표 평균 추가 |
| 내분점(m:n) | ((nx₁+mx₂)/(m+n), …, (nz₁+mz₂)/(m+n)) | z 좌표도 같은 가중 |
내분점·중점 공식은 평면과 무엇이 다른가?
원리가 완전히 같습니다. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점 P는 각 좌표마다
P = ( (n·x₁ + m·x₂)/(m+n), (n·y₁ + m·y₂)/(m+n), (n·z₁ + m·z₂)/(m+n) )
입니다. 2차원에서 쓰던 선분의 내분점 공식에 z 칸 하나가 똑같은 규칙으로 더 붙은 것뿐이죠. 중점은 m:n = 1:1인 특수한 경우라 세 좌표의 평균이 됩니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] A(1, 2, 3), B(4, 6, 15)에 대하여 ① 거리 AB, ② 선분 AB를 1:2로 내분하는 점 P, ③ 중점 M을 구하라.
풀이
- ① AB = √{(4−1)² + (6−2)² + (15−3)²} = √{9 + 16 + 144} = √169 = 13.
- ② 1:2 내분 → P = ( (2·1+1·4)/3, (2·2+1·6)/3, (2·3+1·15)/3 ) = ( 6/3, 10/3, 21/3 ) = (2, 10/3, 7).
- ③ M = ( (1+4)/2, (2+6)/2, (3+15)/2 ) = (5/2, 4, 9).
- 검산: 거리의 피타고라스 수 (3, 4, 12) → 9+16+144=169=13² ✅. 내분점은 AP:PB=1:2라야 하므로 P가 A에서 B 쪽으로 전체의 1/3 지점 → z좌표 3 + (15−3)·(1/3) = 3 + 4 = 7 로 일치 ✅.
어디서 자주 막히나 — 공식 옮겨 적기
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 거리에서 z 항을 빠뜨림 | 평면 공식만 적용 | 세 좌표 모두 제곱 |
| 내분점 분자에서 m·n 뒤바꿈 | m:n 가중 반대로 | A쪽엔 n, B쪽엔 m |
| 음수 좌표의 제곱 부호 | 부호 처리 실수 | (−3)² = 9, 제곱이면 항상 양수 |
| 내분과 외분 혼동 | 부호 처리 | 외분은 n을 −n으로 |
흔한 오해 3가지
- "공간좌표는 완전히 새 공식을 외워야 한다" — 아닙니다. 평면 공식에 z 칸 하나를 같은 규칙으로 늘리면 끝입니다.
- "내분점 분자의 가중을 A에 m, B에 n으로 둔다" — 반대입니다. A에 가까운 쪽일수록 n(= B쪽 비) 가중이 커지도록 A에 n, B에 m을 곱합니다.
- "거리와 선분의 수직 여부는 상관없다" — 공간에서 점과 직선의 최단 거리는 수직을 세워야 나옵니다. 그건 삼수선 정리의 몫이고, 여기서는 두 점 사이의 직선거리만 다룹니다. 2차원에서 꺾인 경로를 펴 최단을 구하던 대칭이동으로 최단 거리 구하기와 함께 보면 "거리를 어떻게 정의하느냐"가 차원마다 어떻게 달라지는지 보입니다.
한 줄로 남기는 핵심
공간좌표 공식은 평면 공식 + z 한 칸입니다. 거리는 피타고라스를 두 번, 내분·중점은 세 좌표에 똑같은 규칙을 적용하면 됩니다.
새로 외울 건 없다 — (x, y)에 z를 붙이고 같은 공식을 한 번 더 쓰면 그게 공간 공식이다.
개념을 '안다'와 '정확히 옮겨 적는다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 기하를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 내분점 가중이나 z 항 누락처럼 '사소하지만 답을 통째로 바꾸는' 실수를 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.