벡터의 연산은 크기와 방향을 함께 가진 양(벡터)을 더하고 빼고 상수배 하는 규칙입니다. 좌표 성분으로 바꾸면 복잡한 도형·물리 문제가 단순한 수 계산이 됩니다. 이 글은 벡터의 뜻, 덧셈·뺄셈·실수배, 크기와 단위벡터 구하는 법을 예제와 검산으로 정리합니다. 기하 '벡터' 단원을 배우는 고2~고3에게 맞습니다.
벡터란?
벡터 = 크기와 방향을 함께 가진 양. 화살표로 나타내고, 크기·방향이 같으면 같은 벡터(위치 무관).
| 구분 | 예 | 표현 |
|---|---|---|
| 스칼라 | 길이, 질량, 온도 | 수 하나 |
| 벡터 | 변위, 속도, 힘 | 크기 + 방향(화살표) |
평면에서 벡터는 성분으로 나타냅니다. a = (a₁, a₂)는 x방향 a₁, y방향 a₂만큼의 이동을 뜻합니다.
벡터의 덧셈·뺄셈은 어떻게 하나?
덧셈은 삼각형법(한 벡터 끝에 다음 벡터를 이어 붙임)이나 평행사변형법으로 합니다. 성분으로는 같은 성분끼리 더합니다.
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂), a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂)
뺄셈 a − b는 "b의 끝에서 a의 끝으로 가는 화살표"로, a + (−b)와 같습니다.
실수배 ka는 방향은 그대로(k<0이면 반대), 크기만 k배 합니다: ka = (ka₁, ka₂).
예제로 흐름 잡기
[예제] a = (2, 3), b = (−1, 4)일 때 a+b, a−b, 2a−3b, |a|를 구하라.
풀이·검산
- a + b = (2+(−1), 3+4) = (1, 7) ✓
- a − b = (2−(−1), 3−4) = (3, −1) ✓
- 2a = (4, 6), 3b = (−3, 12) → 2a − 3b = (4−(−3), 6−12) = (7, −6) ✓
- |a| = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3.61 ✓
벡터의 크기는 피타고라스 정리로 구합니다. 평면에서 두 점 사이 거리를 재는 방식과 같고, 이는 공간좌표와 두 점 사이의 거리에서 z성분까지 확장됩니다.
단위벡터 — 방향만 남기기
크기가 1인 벡터를 단위벡터라 합니다. a와 같은 방향의 단위벡터는 a를 자신의 크기로 나눠 구합니다.
단위벡터 = a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)
a = (2,3)이면 |a| = √13 이므로 단위벡터는 (2/√13, 3/√13). 방향 정보는 그대로, 크기만 1로 맞춘 것입니다. 이 '방향 추출'은 벡터의 내적으로 각도를 다룰 때 바탕이 됩니다.
어디서 자주 막히나
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 뺄셈 방향 혼동 | a−b의 기하 의미 모호 | a−b = b 끝→a 끝 화살표 |
| 실수배에서 부호 처리 | k<0 방향 반전 누락 | k<0이면 방향 반대 |
| 크기를 성분 합으로 계산 | 피타고라스 미적용 |
흔한 오해 3가지
- "벡터는 위치가 중요하다" — 크기와 방향만 같으면 어디 있어도 같은 벡터입니다(자유벡터).
- "|a+b| = |a|+|b|다" — 두 벡터가 같은 방향일 때만 성립합니다. 일반적으로는 삼각부등식 |a+b| ≤ |a|+|b|.
- "실수배는 크기만 바꾼다" — k<0이면 방향도 반대로 뒤집습니다.
한 줄로 남기는 핵심
벡터 연산의 핵심은 '성분으로 바꾸면 화살표 문제가 수 계산이 된다'는 것입니다.
방향이 걸린 문제가 나오면 좌표 성분으로 옮긴다 — 그 순간 도형 문제가 산수로 바뀝니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 기하의 벡터처럼 뒤에 내적·공간도형이 쌓이는 단원을, 기초 연산부터 응용까지 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해 개념이 끊기지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.