두 원의 위치 관계는 두 중심 사이 거리 d를 반지름의 합 r₁+r₂, 차 |r₁−r₂| 와 비교하면 그림 없이도 판정됩니다. 핵심은 하나 — 거리가 클수록 떨어지고, 작을수록 하나가 다른 하나 안으로 들어간다는 것. 이 글은 공통수학2 '원의 방정식'을 공부하는 학생을 위해 다섯 경우를 표로 정리하고, 외접·내접·두 점 교차를 검산한 예시로 확인합니다.
무엇을 비교하나?
먼저 두 원을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 읽고, 두 중심 사이 거리 d를 구합니다. 그다음 d를 r₁+r₂, |r₁−r₂| 두 기준선과 비교하면 끝입니다. 표준형↔일반형 변환과 중심·반지름 읽기는 원의 방정식에서 다뤘습니다.
판정의 축은 '거리 d 하나' — 합·차라는 두 눈금 사이 어디에 d가 놓이는지만 보면 된다.
다섯 경우를 어떻게 나누나?
| 중심 거리 d | 위치 관계 | 만나는 점 |
|---|---|---|
| d > r₁+r₂ | 서로 밖에 떨어짐 | 0개 |
| d = r₁+r₂ | 외접 | 1개 |
| |r₁−r₂| < d < r₁+r₂ | 두 점에서 만남 | 2개 |
| d = |r₁−r₂| | 내접 | 1개 |
| d < |r₁−r₂| | 한 원이 다른 원 내부 | 0개 |
d가 클수록 위쪽(떨어짐), 작을수록 아래쪽(포함)으로 내려간다고 기억하면 순서가 흐트러지지 않습니다.
외접은 어떻게 검산하나?
[예제 1] 두 원 x²+y²=4 와 (x−3)²+y²=1 의 위치 관계는?
풀이
- 중심·반지름: 앞 원은 중심 O(0,0)·반지름 2, 뒤 원은 중심 (3,0)·반지름 1.
- 중심 거리 d=3, r₁+r₂=3 → d=r₁+r₂ → 외접(1점).
- 검산: 두 원은 (2,0)에서 만남 — (2,0)은 앞 원(4=4)·뒤 원((2−3)²=1) 위에 모두 있음.
내접은 어떻게 검산하나?
[예제 2] 두 원 x²+y²=16 과 (x−3)²+y²=1 의 위치 관계는?
풀이
- 중심·반지름: 앞 원 중심 O·반지름 4, 뒤 원 중심 (3,0)·반지름 1.
- d=3, |r₁−r₂|=|4−1|=3 → d=|r₁−r₂| → 내접(1점).
- 검산: 접점 (4,0)은 앞 원(16=16)·뒤 원((4−3)²=1) 위에 모두 있음. 큰 원 안에서 한 점으로 접함.
두 점에서 만나면 공통현은?
[예제 3] 두 원 x²+y²=4 와 (x−2)²+y²=4 의 위치 관계와 공통현을 구하시오.
풀이
- 두 원 모두 반지름 2, 중심 O와 (2,0) → d=2. |r₁−r₂|=0 < 2 < r₁+r₂=4 → 두 점에서 만남.
- 공통현: 두 식을 빼면 x²+y²−4 − {(x−2)²+y²−4} = 4x−4 = 0 → x=1.
- 검산: x=1을 원에 넣으면 y²=3 → 교점 (1, √3)·(1, −√3). 두 점 모두 양쪽 원 위에 있음.
두 원의 교점을 지나는 원·직선을 한 번에 묶는 방법은 두 원의 교점을 지나는 원·직선에서 이어집니다.
어디서 자주 막히나?
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 일반형인 채로 비교 | 중심·반지름 미확인 | 완전제곱해 표준형으로 |
| 외접·내접 혼동 | 합·차 뒤바꿈 | 합이면 외접, 차이면 내접 |
| 부등호 경계 놓침 | 등호 처리 실수 | d=합·d=차는 접함(1점) |
| 공통현을 못 세움 | 두 식 처리 미숙 | 두 식을 빼면 일차식(직선) |
흔한 오해 3가지
- "두 원이 접하면 항상 밖에서 만난다" — 아닙니다. 큰 원 안에서 만나는 내접(d=|r₁−r₂|)도 접함입니다.
- "교점이 없으면 반드시 멀리 떨어져 있다" — 한 원이 다른 원 안에 완전히 들어가도(d<|r₁−r₂|) 교점이 0개입니다.
- "두 원을 빼면 또 원이 나온다" — x²·y² 항이 소거돼 직선(공통현) 이 남습니다.
원과 직선의 판정(판별식·중심과 직선 사이 거리)도 같은 '거리 비교' 감각을 씁니다 — 원과 직선의 위치 관계와 원의 접선의 방정식을 함께 보면 원 단원의 판정 도구가 한 줄로 정리됩니다.
두 원 문제의 90%는 'd를 합·차와 비교'로 끝난다 — 그림보다 거리 한 줄이 빠르다.
두 원 문제가 자꾸 헷갈린다면 개념·기출·오답을 한 흐름으로 관리하는 게 빠릅니다. TimeLevelUp으로 '거리 d로 판정'이라는 한 축을 세워 두면 원 단원이 손에 잡힙니다. 단원 경계·성취기준은 본인 교육과정 기준으로 확인하세요.
최종 점검 2026-09-26 — 외접·내접·두 점 교차를 예제로 검산해 보강하고, 원의 방정식·원과 직선 위치 관계·공통현 글로 이어 볼 수 있게 링크를 더했습니다.