두 원의 교점을 지나는 도형은 교점을 직접 구하지 않고 두 방정식을 C₁+kC₂=0 으로 묶으면 한 번에 나옵니다. 핵심은 하나 — 이 식은 k가 무엇이든 두 교점을 지나고, k=−1일 때만 직선(공통현)이 된다는 것. 이 글은 공통수학2 '원의 방정식'을 공부하는 학생을 위해 원리와 검산 예시를 정리합니다.
왜 C₁+kC₂=0 이 교점을 지나나?
두 교점은 C₁=0 과 C₂=0 을 동시에 만족합니다. 그러면 C₁+kC₂ = 0+k·0 = 0 이므로, k가 어떤 값이든 그 점은 새 식도 만족합니다. 즉 하나의 식으로 교점을 지나는 도형 전체를 표현할 수 있습니다.
두 교점에서 C₁도 0, C₂도 0이니, 이들을 섞은 C₁+kC₂도 반드시 0이 된다.
k값에 따라 무엇이 달라지나?
| k값 | C₁+kC₂=0 의 의미 |
|---|---|
| k=0 | C₁ 자기 자신 |
| k≠−1 | 두 교점을 지나는 원 |
| k=−1 | 두 교점을 지나는 직선(공통현) |
예시로 검산하면?
C₁: x²+y²−4=0, C₂: x²+y²−2x−2y−2=0 라 하자.
- 공통현(k=−1) — C₁−C₂ = 2x+2y−2=0 → x+y−1=0.
- 원점을 지나는 원 — C₁+kC₂=0 에 (0,0) 대입: (−4)+k(−2)=0 → k=−2.
- 정리 — 대입해 풀면 x²+y²−4x−4y=0. 원점 대입 시 0이 되어 맞고, 두 교점도 지납니다.
흔한 실수 3가지
- k=−1을 원으로 착각 — 이차항이 사라지므로 직선입니다. '원' 문제에 −1을 쓰면 안 됩니다.
- 일반형 그대로 두기 — 지나는 점만 대입하면 되지만, 중심·반지름이 필요하면 마지막에 완전제곱하세요.
- C₂ 계수 놓침 — 두 원을 x²+y² 계수가 1이 되도록 맞춘 뒤 묶어야 항이 깔끔히 소거됩니다.
두 원 문제가 자꾸 엉킨다면 개념·기출·오답을 한 흐름으로 관리하는 게 빠릅니다. TimeLevelUp으로 'k로 묶는다'는 한 축을 세워 두면 원 단원이 손에 잡힙니다. 단원 경계·성취기준은 본인 교육과정 기준으로 확인하세요.