원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 — 판별식·접점 두 방법으로 구하는 법

원 밖의 한 점에서 그은 접선은 항상 2개입니다. 이 글은 공통수학2 '도형의 방정식'에서 원의 접선을 배우는 학생을 위해, 접선을 구하는 두 방법(판별식=0, 중심-직선 거리=반지름)을 한 예제로 비교합니다.

두 방법은 무엇이 다른가?

접선의 기울기를 m으로 놓고 점을 지나는 직선을 세운 뒤, 아래 두 조건 중 하나로 m을 구합니다.

접선의 개수는 '점의 위치'가 정한다. 중심~점 거리 > 반지름이면 접선은 두 개다.

예제로 확인하기

[예제] 원 x²+y²=2 밖의 점 (2,0)에서 그은 접선은?

1. 직선을 y=m(x−2), 즉 mx−y−2m=0으로 세운다.
2. 거리 방법: |−2m|/√(m²+1)=√2 → 4m²=2(m²+1) → m²=1 → m=±1.
3. 접선은 y=x−2, y=−x+2 두 개. (접점은 (1,−1), (1,1))

판별식으로 풀어도 (1+m²)x²−4m²x+4m²−2=0의 판별식=0에서 m²=1로 같은 답이 나옵니다.

흔한 실수 3가지

1. 세로 접선을 빠뜨림 — y=m(x−a) 꼴은 x=상수 접선을 못 잡습니다. 기울기 없는 접선이 있는지 확인하세요.
2. 점이 원 위인데 2개로 품 — 점이 원 위면 접선은 1개(공식 x₁x+y₁y=r²)입니다.
3. 거리 방법에서 절댓값 생략 — 분자 |ax₁+by₁+c|의 절댓값을 빼면 부호 오류로 m이 어긋납니다.

한 줄로 남기는 핵심

먼저 점의 위치로 접선 개수를 확인하고, 간단하면 거리=반지름, 접점까지 필요하면 판별식=0으로 풉니다.

원의 접선처럼 '방법이 둘'인 개념은 언제 무엇을 쓸지 기준을 정해 두면 실전에서 헤매지 않습니다. TimeLevelUp은 공통수학 개념을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 반복되지 않도록 돕습니다.