타원은 "두 점에서 잰 거리의 합이 항상 같은" 점들이 그리는 곡선입니다. 압정 두 개에 실을 걸고 팽팽하게 당겨 연필을 돌리면 타원이 그려지는데, 실 길이가 바로 '거리의 합'입니다. 이 글은 기하 '이차곡선'을 배우는 학생을 위해 타원의 거리 정의, 표준형에서 초점·장축·단축을 읽는 법, 타원과 직선의 위치 관계를 원본 예제와 검산으로 정리합니다.
타원이란?
평면 위의 두 정점 F, F′(초점) 에서의 거리의 합이 일정한 점 P들의 자취가 타원입니다. 그 합을 2a로 두면 PF + PF′ = 2a 입니다.
타원의 정의는 딱 한 줄 — 두 초점까지 거리의 합이 늘 2a로 일정하다.
이 정의를 좌표로 옮기면 중심이 원점인 타원의 표준형이 나옵니다.
| 표준형 | 조건 | 초점 | 장축 | 단축 |
|---|---|---|---|---|
| x²/a² + y²/b² = 1 | a>b>0 | (±c, 0), c²=a²−b² | 2a (x축) | 2b (y축) |
| x²/a² + y²/b² = 1 | b>a>0 | (0, ±c), c²=b²−a² | 2b (y축) | 2a (x축) |
핵심 관계는 (장반경)² = (단반경)² + c², 즉 a² = b² + c² 입니다. 원과 달리 초점이 중심에서 c만큼 벗어나 있어 두 방향의 반지름이 다릅니다.
초점·축을 어떻게 읽나?
[예제] 타원 x²/25 + y²/16 = 1의 초점과 장축·단축의 길이를 구하여라.
풀이
- x² 아래가 25로 더 크므로 장축은 x축 방향. a²=25 → a=5, b²=16 → b=4.
- c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 → c=3. 초점 (±3, 0).
- 장축의 길이 2a = 10, 단축의 길이 2b = 8.
- 검산: 장축 끝 꼭짓점 (5, 0)에서 두 초점까지 거리는 5−3=2와 5+3=8, 합은 10 = 2a. 정의를 만족합니다.
타원과 직선은 몇 점에서 만나나?
타원과 직선의 교점 수도 판별식으로 판정합니다. 원과 직선의 위치 관계에서 연립 후 판별식의 부호로 교점 수를 갈랐던 방법이 그대로 적용됩니다 — 다만 타원식에 직선을 대입하면 계수가 조금 복잡해질 뿐입니다.
- 연립해 얻은 이차방정식의 D>0이면 두 점, D=0이면 접함, D<0이면 안 만남.
- 접선을 다룰 때는 이 D=0 조건이 그대로 접선의 방정식을 만드는 열쇠가 됩니다.
어디서 자주 막히나
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| c²=a²+b²로 계산 | 원·쌍곡선 공식과 혼동 | 타원은 c²=a²−b² (큰 쪽 − 작은 쪽) |
| 장축 방향 오판 | a, b 위치 고정 착각 | 분모가 큰 쪽이 장축·초점 방향 |
| 초점 좌표 부호 | 한쪽만 표기 | 초점은 두 개 (±c) |
흔한 오해 3가지
- "a는 항상 x² 아래" — 아닙니다. 표준형에서 어느 분모가 크냐에 따라 장축 방향과 초점 위치가 바뀝니다. 값의 대소로 판단하세요.
- "타원은 찌그러진 원일 뿐" — 원은 두 초점이 한 점(c=0, a=b)으로 겹친 타원의 특수한 경우입니다. c가 클수록 납작(이심률이 큼)해집니다.
- "거리의 합은 아무 값이나" — 거리의 합 2a는 두 초점 사이 거리 2c보다 반드시 커야 타원이 됩니다. 같으면 선분, 작으면 자취가 없습니다.
한 줄로 남기는 핵심
타원 문제는 a² = b² + c² 관계와 "장축은 분모 큰 쪽"만 정확히 잡으면 초점·축이 한 번에 나옵니다. 직선과의 위치 관계는 원의 방정식에서 익힌 판별식 논리를 그대로 옮겨 오면 됩니다.
두 초점까지 거리의 합이 2a — 이 정의와 a²=b²+c² 관계 두 줄이 타원의 뼈대다.
정의와 핵심 관계식을 먼저 잡고 문제로 넘어가는 순서가 이차곡선 단원의 속도를 결정합니다. TimeLevelUp은 원·포물선·타원처럼 서로 이어지는 개념을 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.