확률변수는 '시행 결과에 숫자를 붙이는 규칙'이고, 확률분포는 그 숫자들이 나올 확률을 모아 놓은 표입니다. 확률 단원이 '사건이 일어날 가능성'을 다뤘다면, 통계의 첫 단추인 이 단원은 그 가능성을 수(평균·흩어짐)로 요약하는 법을 배웁니다. 이 글은 확률변수가 무엇인지, 기댓값·분산·표준편차를 어떻게 계산하는지, aX+b로 바꾸면 무엇이 달라지는지를 검산한 예제로 정리합니다. 확률과 통계 '통계'를 배우는 학생에게 맞습니다.
확률변수와 확률분포란 무엇인가?
확률변수 X는 시행의 각 결과에 하나의 실수를 대응시킨 변수입니다. 예를 들어 동전 2개를 던질 때 '앞면의 개수'를 X라 하면 X는 0, 1, 2 중 하나를 가집니다. 각 값이 나올 확률을 모으면 확률분포가 됩니다.
| X | 0 | 1 | 2 | 합 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 1/4 | 1/2 | 1/4 | 1 |
확률분포의 조건: 모든 확률은 0 이상이고, 합은 반드시 1입니다. 이 두 가지가 안 맞으면 분포 자체가 틀린 것입니다.
기댓값·분산·표준편차는 어떻게 계산하나?
세 가지 요약값의 정의는 다음과 같습니다.
- 기댓값(평균) E(X) = Σ x·P(X=x) — 각 값에 확률을 곱해 모두 더함.
- 분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}² — '제곱의 평균'에서 '평균의 제곱'을 뺌.
- 표준편차 σ(X) = √V(X) — 분산의 양의 제곱근(단위가 X와 같아짐).
분산은 값이 평균에서 얼마나 멀리 흩어져 있는지를 재는 수입니다. 분산 공식은 V(X)=E((X−m)²)에서 전개해 나온 것으로, 계산은 E(X²)−{E(X)}² 쪽이 훨씬 빠릅니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] 위 분포(동전 2개의 앞면 수 X)에서 E(X), V(X), σ(X)를 구하고, Y = 2X + 3의 평균·분산을 구하라.
풀이
- E(X) = 0·(1/4) + 1·(1/2) + 2·(1/4) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1.
- E(X²) = 0²·(1/4) + 1²·(1/2) + 2²·(1/4) = 0 + 1/2 + 1 = 3/2.
- V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 3/2 − 1² = 1/2.
- σ(X) = √(1/2) = (√2)/2 ≈ 0.71.
- Y=2X+3: E(Y) = 2·E(X)+3 = 2·1+3 = 5, V(Y) = 2²·V(X) = 4·(1/2) = 2.
- 검산: X는 n=2, p=1/2인 이항분포이므로 E=np=1, V=np(1−p)=2·(1/2)·(1/2)=1/2 로 공식과 일치 ✅. 평균 5에서 Y는 3, 5, 7을 1/4, 1/2, 1/4로 가지므로 V(Y)=(3−5)²·¼+(5−5)²·½+(7−5)²·¼ = 1+0+1 = 2 로 재확인 ✅.
어디서 자주 막히나 — 요약값 계산
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 분산을 Σ(x²)로 끝냄 | 평균의 제곱 빼기 누락 | V = E(X²) − {E(X)}² |
| V(aX+b)에 b를 더함 | 상수의 분산 혼동 | 분산은 b 무관, a²만 작용 |
| σ(aX+b)=aσ | 절댓값 누락 | σ = |a|·σ(X) |
| 확률 합이 1이 아닌 채 진행 | 분포 검증 생략 | 계산 전 Σp=1 확인 |
흔한 오해 3가지
- "기댓값은 가장 나올 법한 값이다" — 아닙니다. 기댓값은 장기 평균이라 실제로는 한 번도 안 나오는 값일 수도 있습니다(주사위 기댓값 3.5처럼).
- "분산에 상수를 더하면 분산도 커진다" — V(X+b)=V(X)입니다. 분포를 통째로 b만큼 옮겨도 흩어진 정도는 그대로입니다.
- "표준편차는 분산의 절반쯤이다" — σ는 분산의 제곱근입니다. 단위를 X와 맞추려고 제곱근을 취하는 것이지, 비례 관계가 아닙니다.
이 단원은 확률의 뜻과 성질과 조건부확률에서 다룬 확률을 숫자로 요약하는 단계이고, 이항분포의 평균·분산은 이항정리와 독립시행의 확률에서 나온 꼴을 그대로 씁니다. 여기까지 정리되면 다음은 연속확률변수와 정규분포로 이어집니다.
한 줄로 남기는 핵심
확률분포는 합이 1인 표, 분산은 E(X²) − {E(X)}², aX+b에서 평균은 평행이동·분산은 a²배입니다. 이 세 줄이 통계 계산의 뼈대입니다.
평균은 중심을, 분산은 흩어짐을 잰다 — 그리고 상수를 더해도 흩어짐은 변하지 않는다.
개념을 '안다'와 '계산 실수 없이 쓴다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 확률과 통계를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 분산의 제곱 빼기나 a²배처럼 '정의를 알아도 계산에서 틀리는' 지점을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 반복되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.