명제와 조건은 '참·거짓을 판정할 수 있는가'로 갈립니다. 명제는 참·거짓이 정해진 문장, 조건은 변수에 따라 달라지는 문장입니다. 이 글은 조건의 진리집합으로 '모든/어떤' 명제의 참·거짓과 부정을 예시로 검산하며 잡는 법을 정리합니다.
명제와 조건, 무엇이 다른가?
| 구분 | 정의 | 예 |
|---|---|---|
| 명제 | 참·거짓이 명확한 문장·식 | "2는 소수다"(참) |
| 조건 | 변수에 따라 참·거짓이 갈림 | p: x > 2 |
| 진리집합 | 조건을 참으로 만드는 원소의 집합 | P = {x | x > 2} |
조건 p의 진리집합이 P이면, 부정 ~p의 진리집합은 Pᶜ(여집합)입니다.
'모든/어떤' 명제는 어떻게 판정하나?
전체집합 U에서 조건 p의 진리집합을 P라 하면:
- '모든 x에 대하여 p' — P = U일 때만 참. 반례가 하나라도 있으면 거짓.
- '어떤 x에 대하여 p' — P ≠ ∅일 때 참. 하나라도 성립하면 참.
예로 확인해 봅니다. "모든 실수 x에 대하여 x² ≥ 0"은 참(진리집합이 실수 전체). 하지만 "모든 실수 x에 대하여 x² > 0"은 x=0이 반례라 거짓입니다.
'모든/어떤'의 부정 뒤집기
- '모든 x에 대하여 p'의 부정 → '어떤 x에 대하여 ~p'
- '어떤 x에 대하여 p'의 부정 → '모든 x에 대하여 ~p'
- 'p 그리고 q'의 부정 → '~p 또는 ~q' / 'p 또는 q'의 부정 → '~p 그리고 ~q'
위 거짓 명제 "모든 x, x² > 0"의 부정은 "어떤 x, x² ≤ 0"이고, x=0에서 참 — 부정이 참이니 원명제가 거짓임과 맞아떨어집니다.
흔한 실수 3가지
- '모든'을 '어떤'으로 부정 — '모든'의 부정은 '전부 아니다'가 아니라 '어떤 것은 아니다'입니다.
- 반례 없이 '모든' 참 단정 — U 전체에서 성립하는지 확인 없이 참으로 넘기면 틀립니다.
- 그리고/또는 부정에서 접속사 안 바꿈 — ∧↔∨로 뒤집어야 합니다.
개념을 예시로 검산하는 습관이 명제 단원의 실수를 줄입니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, '모든/어떤'처럼 헷갈리는 개념을 제때 다시 만나도록 학습 리듬을 설계합니다.