적분은 미분을 거꾸로 돌리는 연산입니다. 그런데 같은 '적분'이라는 이름 아래 성격이 다른 둘이 있습니다 — 함수를 돌려주는 부정적분과, 하나의 수를 돌려주는 정적분. 이 글은 미적분Ⅰ '적분'을 배우는 학생을 위해 둘의 차이와 이들을 잇는 미적분의 기본정리를 원본 예제와 검산으로 정리합니다.
부정적분이란?
F′(x) = f(x) 일 때, f(x)의 부정적분을 ∫f(x)dx = F(x) + C 로 씁니다. "미분하면 f(x)가 되는 함수"를 구하는 것이므로 미분의 역연산입니다.
부정적분은 미분을 거꾸로 — 그래서 결과는 수가 아니라 함수(F(x)+C)다.
핵심 공식은 미분 공식을 뒤집은 것입니다.
| 부정적분 | 결과 | 확인(미분) |
|---|---|---|
| ∫xⁿ dx (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | (xⁿ⁺¹/(n+1))′ = xⁿ |
| ∫k dx | kx + C | (kx)′ = k |
| ∫(f±g)dx | ∫f dx ± ∫g dx | 미분의 선형성 |
적분상수 C 가 붙는 이유는 명확합니다. 상수를 미분하면 0이라, x³/3 도 x³/3+5 도 미분하면 똑같이 x²입니다. 그 무수한 경우를 한꺼번에 담으려고 +C를 씁니다.
정적분이란?
정적분 ∫ₐᵇ f(x)dx 는 구간 [a, b]에서 정해지는 하나의 수입니다. 계산은 부정적분 F(x)를 구한 뒤 F(b) − F(a) 를 하면 됩니다. 이것이 미적분의 기본정리입니다.
[예제 1] ∫₀² x² dx 를 구하여라.
풀이
- 부정적분: ∫x² dx = x³/3 + C.
- 정적분: [x³/3]₀² = 2³/3 − 0³/3 = 8/3.
- 검산: F(x)=x³/3 을 미분하면 x² 로 원래 함수가 나옵니다. 여기서 C는 F(2)−F(0)을 할 때 상쇄되어 나타나지 않습니다.
[예제 2] ∫₁³ (2x + 1) dx 를 구하여라.
풀이
- 부정적분: x² + x + C.
- [x²+x]₁³ = (9+3) − (1+1) = 12 − 2 = 10.
- 검산: (x²+x)′ = 2x+1 ✓.
부정적분과 정적분은 어떻게 이어지나?
둘을 잇는 다리가 미적분의 기본정리입니다. 정적분으로 만든 함수 S(x) = ∫ₐˣ f(t)dt 를 x로 미분하면 다시 f(x) 가 됩니다. 즉 "쌓기(적분)"와 "변화율 보기(미분)"는 서로 역연산입니다. 이 관계 덕분에 미분계수와 도함수에서 배운 미분을 알면 적분 계산이 곧바로 열립니다.
어디서 자주 막히나
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 정적분에 +C를 씀 | 부정적분과 혼동 | 정적분은 수, C 없음 |
| ∫xⁿ에서 n=−1 처리 | 공식 무분별 적용 | n=−1은 별도(로그), 공식 제외 |
| F(a)−F(b)로 뺌 | 위·아래 순서 반대 | 항상 위끝 − 아래끝 = F(b)−F(a) |
흔한 오해 3가지
- "적분은 무조건 넓이다" — 정적분이 넓이가 되는 건 f(x)≥0일 때입니다. 함수가 음수인 구간에서는 부호가 붙은 값이라, 넓이 계산에서는 절댓값·구간 분리가 필요합니다.
- "부정적분과 정적분은 무관하다" — 정반대입니다. 정적분을 계산하는 방법 자체가 부정적분(F)에서 나옵니다(기본정리).
- "C는 아무 때나 생략해도 된다" — 부정적분 답에서 C를 빠뜨리면 감점 대상입니다. 정적분에서만 자연히 사라집니다.
한 줄로 남기는 핵심
부정적분은 함수 F(x)+C, 정적분은 수 F(b)−F(a). 둘을 잇는 것이 미적분의 기본정리이고, 미분을 정확히 아는 만큼 적분이 쉬워집니다.
미분을 거꾸로 돌리면 부정적분, 그 결과를 두 끝에서 빼면 정적분 — 적분 단원의 뼈대는 이 두 문장이다.
미분과 적분을 따로 외우면 계속 헷갈리고, 역연산 관계로 묶으면 한 덩어리가 됩니다. TimeLevelUp은 미분·적분처럼 이어지는 개념을 선수 단원과 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.