함수의 증가·감소와 극대·극소는 도함수의 부호만으로 그래프의 오르내림과 봉우리·골짜기를 읽어내는 단원입니다. 접선의 기울기가 양수면 오르막, 음수면 내리막 — 이 직관을 증감표로 정리하면 복잡한 함수의 개형도 손으로 그릴 수 있습니다. 이 글은 증감 판정, 극값을 찾는 조건, 극값과 최댓값의 차이를 검산된 예제와 함께 정리합니다. 미적분Ⅰ '미분'을 배우는 고2, 도함수는 구하는데 그래프로 옮기지 못하는 학생에게 맞습니다.
증가·감소는 어떻게 판정하나?
| 도함수 부호 | 함수의 상태 | 그래프 |
|---|---|---|
| f'(x) > 0 | 증가 | 오르막 |
| f'(x) < 0 | 감소 | 내리막 |
| f'(x) = 0 | 정지(극값 후보) | 봉우리·골짜기·꺾임 |
극값을 찾는 절차는 다음과 같습니다.
- f'(x)를 구한다.
- f'(x) = 0인 x(임계점)를 찾는다.
- 임계점으로 구간을 나눠 f'(x)의 부호를 조사한다.
- 부호가 + → − 로 바뀌면 극대, − → + 로 바뀌면 극소.
예제로 흐름 잡기
[예제] f(x) = x³ − 3x 의 극값을 구하고 증감을 조사하시오.
풀이
- f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) → f'(x)=0 은 x = −1, 1
- 부호: x<−1 에서 f'>0(증가), −1<x<1 에서 f'<0(감소), x>1 에서 f'>0(증가)
- x=−1: +→− → 극대, 극댓값 f(−1) = −1 + 3 = 2
- x=1: −→+ → 극소, 극솟값 f(1) = 1 − 3 = −2
- 검산: f'(−2)=9>0, f'(0)=−3<0, f'(2)=9>0 — 증감 부호 일치.
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| f'(a)=0이면 무조건 극값 | 부호변화 미확인 | 부호가 바뀌어야 극값 |
| 극댓값을 최댓값으로 제출 | 국소/전역 혼동 | 구간이면 양 끝값도 비교 |
| 극값의 x좌표를 값으로 씀 | 좌표 착각 | 극값은 f(a), x=a가 아님 |
닫힌 구간의 최댓값·최솟값을 다루는 이차함수의 최대·최소와 같은 논리이지만, 여기서는 삼차 이상도 도함수로 처리한다는 점이 다릅니다.
흔한 오해 3가지
- "f'(a)=0이면 그 점은 극값이다" — 아닙니다. y=x³의 x=0처럼 부호가 안 바뀌면 극값이 아닙니다.
- "극댓값이 최댓값이다" — 극값은 국소적입니다. 구간 전체의 최댓값은 극값 후보와 양 끝값을 모두 비교해야 합니다.
- "증가함수는 항상 f'(x)>0이다" — 대체로 맞지만, 한 점에서 f'=0이어도(예: y=x³) 전 구간 증가일 수 있습니다.
한 줄로 남기는 핵심
이 단원의 전부는 "도함수의 부호 = 그래프의 오르내림" 입니다. 접선의 방정식에서 구한 기울기 f'(x)를, 이제 부호로만 읽어 개형을 완성하는 것입니다.
극값은 f'(x)=0인 점이 아니라, 그 점에서 부호가 바뀌는 점이다 — 이 한 줄이 오답의 절반을 막는다.
TimeLevelUp은 미적분Ⅰ을 미분계수·접선에서 증감·극값으로 이어지는 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영합니다. 증감표처럼 '절차가 정해진' 개념일수록, 제때 손에 익히고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.