접선의 방정식은 곡선 위 한 점에서 곡선에 '스치듯' 닿는 직선의 식입니다. 핵심 도구는 하나뿐입니다 — 접점에서의 미분계수가 곧 접선의 기울기라는 사실. 이 글은 접점이 주어질 때, 기울기가 주어질 때, 곡선 밖의 점에서 그을 때 세 경우를 검산된 예제와 함께 정리합니다. 미적분Ⅰ '미분'을 배우는 고2, 미분계수는 구할 줄 아는데 접선 식으로 옮기는 데서 막히는 학생에게 맞습니다.
접선의 방정식이란?
곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선은 다음과 같습니다.
y − f(a) = f'(a)(x − a)
즉 기울기 = f'(a)(미분계수), 지나는 점 = (a, f(a))인 직선입니다. "기울기와 한 점"만 있으면 직선이 정해진다는 중학교 지식에 미분계수를 얹은 것뿐입니다.
| 주어진 것 | 먼저 할 일 | 접선 식 |
|---|---|---|
| 접점 (a, f(a)) | f'(a) 계산 | y−f(a)=f'(a)(x−a) |
| 기울기 m | f'(a)=m 풀어 a 구하기 | 위 식에 대입 |
| 곡선 밖 점 (p,q) | 접점 (t,f(t)) 두고 조건식 | t에 대한 방정식 |
예제로 흐름 잡기
[예제 1] 곡선 y = x² 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식은?
풀이
- f'(x) = 2x → f'(1) = 2 (접선의 기울기)
- y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1
- 검산: x=1이면 y=1 (접점 통과 ✓), 기울기 2 ✓
[예제 2] 곡선 y = x³ 위의 점 (1, 1)에서의 접선은?
풀이
- f'(x) = 3x² → f'(1) = 3
- y − 1 = 3(x − 1) → y = 3x − 2
- 검산: x=1이면 y=1 (접점 통과 ✓)
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 곡선 밖 점을 접점으로 씀 | 조건 오독 | 밖의 점이면 접점 t를 미지수로 |
| f(a) 대신 다른 값을 y좌표로 | 접점 좌표 착각 | 접점은 반드시 곡선 위 (a, f(a)) |
| 기울기만 주면 못 푼다고 포기 | 접점 미확정 | f'(a)=m으로 a부터 구함 |
원의 접선처럼 미분을 안 쓰는 경우도 있습니다 — 원의 접선의 방정식은 판별식이나 중심-거리로 풀며, 여기서 배운 미분 접선과는 접근이 다릅니다.
흔한 오해 3가지
- "접선은 곡선과 한 점에서만 만난다" — 국소적으로는 스치지만, 곡선을 다시 만날 수 있습니다(예: 삼차곡선). '한 점에서만'은 원의 접선 이야기입니다.
- "기울기가 주어지면 접점은 하나다" — f'(a)=m 이 여러 해를 가지면 접선도 여럿입니다.
- "곡선 위 점이면 접점이다" — 접선을 '긋는' 외부 점과 '스치는' 접점을 구분해야 합니다.
한 줄로 남기는 핵심
접선의 방정식은 새 공식이 아니라 "기울기 자리에 미분계수를 넣은 직선의 방정식" 입니다. 함수의 증가·감소 판정도 결국 이 접선 기울기의 부호를 읽는 일입니다.
접점을 알면 미분해서 기울기를, 기울기를 알면 미분방정식으로 접점을 — 둘 중 무엇이 주어졌는지부터 본다.
TimeLevelUp은 미적분Ⅰ을 미분계수→접선→증감 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영합니다. 접선처럼 '조건에 따라 전략이 갈리는' 개념일수록, 세 경우를 제때 정리하고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.