이차함수의 최대·최소는 "어디서 극값이 생기는가"를 묻는 문제입니다. 핵심은 — 전체 실수에서는 꼭짓점 하나만 보면 되지만, 제한된 구간에서는 꼭짓점이 구간 안에 있는지부터 확인하고 양 끝값과 비교해야 한다는 것입니다. 이 글은 그 판단 순서를 예제와 함께 정리합니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'에서 이차함수 그래프를 배운 고1에게 맞습니다.
전체 실수에서는 꼭짓점만 본다
이차함수 y = a(x−p)² + q 는 꼭짓점 (p, q)에서 극값을 가집니다.
a>0이면 꼭짓점이 최솟값 q(최댓값 없음), a<0이면 꼭짓점이 최댓값 q(최솟값 없음).
| a의 부호 | 볼록 방향 | 꼭짓점의 의미 |
|---|---|---|
| a > 0 | 아래로 볼록 | 최솟값 q (최댓값 없음) |
| a < 0 | 위로 볼록 | 최댓값 q (최솟값 없음) |
구간이 제한되면 — 세 값을 비교한다
구간 [m, n]이 주어지면 순서가 하나 늘어납니다.
- 표준형으로 고쳐 꼭짓점 x=p 를 구한다.
- p가 [m, n] 안이면 → 후보는 f(p), f(m), f(n) 세 값.
- p가 구간 밖이면 → 함수는 구간에서 단조라 후보는 f(m), f(n) 두 값뿐.
- 후보값 중 가장 큰 것이 최댓값, 가장 작은 것이 최솟값.
[예제] f(x) = x² − 4x + 3, 구간 [0, 3]에서 최대·최소는?
풀이
- 표준형: (x−2)² − 1 → 꼭짓점 (2, −1), a=1>0
- x=2는 [0,3] 안 → 세 값 비교: f(2)=−1, f(0)=3, f(3)=0
- 최댓값 3(x=0), 최솟값 −1(x=2)
흔한 실수 3가지
- 꼭짓점이 구간 밖인데 꼭짓점값을 답에 넣기 — 밖이면 극값은 반드시 양 끝에서 나옵니다.
- 최댓값과 최솟값을 꼭짓점 하나로 끝내기 — 구간이 있으면 끝값이 극값이 될 수 있습니다.
- a<0인데 꼭짓점을 최솟값이라 함 — a<0이면 꼭짓점은 최댓값입니다.
이차함수 최대·최소는 "꼭짓점이 구간 안인가?"라는 한 질문으로 갈린다 — 안이면 세 값, 밖이면 두 값을 비교한다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 이차방정식·이차함수·이차부등식처럼 한 척추로 이어지는 개념을 끊기지 않게 묶어 학습 리듬을 설계합니다.