함수의 연속은 그래프를 "펜을 떼지 않고 그릴 수 있는가"를 수식으로 옮긴 개념입니다. 눈으로 보면 이어져 있는지 끊겼는지 금방 알지만, 시험은 식만 주고 판정을 요구합니다. 그래서 필요한 것이 연속의 세 조건입니다. 이 글은 연속의 정확한 정의, 불연속의 종류, 연속이 되도록 상수를 정하는 문제 풀이를 예제와 함께 정리합니다. 미적분Ⅰ '함수의 극한과 연속'을 배우는 고2, 그리고 함수의 극한은 알지만 연속 판정에서 막히는 학생에게 맞습니다.
함수의 연속이란?
함수 f(x)가 x = a에서 연속이라는 것은 다음 세 조건이 모두 성립한다는 뜻입니다.
| 조건 | 의미 | 어긋나면 |
|---|---|---|
| ① f(a)가 정의됨 | 그 점에 함숫값이 있음 | 정의역에서 빠진 점 |
| ② lim(x→a) f(x) 존재 | 좌극한 = 우극한 | 값이 튀는 점 |
| ③ lim f(x) = f(a) | 극한값 = 함숫값 | 극한은 있는데 값이 어긋남 |
세 조건을 한 줄로 묶으면 lim(x→a) f(x) = f(a) 입니다. 이 식 하나에 위 세 가지가 모두 들어 있습니다.
불연속은 어떻게 생기나?
- 제거 가능한 불연속: 극한은 존재하는데 함숫값이 다르거나 없음. 점 하나만 고치면 연속이 됨.
- 점프(도약) 불연속: 좌극한 ≠ 우극한. 계단처럼 값이 튐.
- 무한 불연속: 극한이 ±∞로 발산. 점근선을 가진 유리함수 등.
예제로 흐름 잡기
[예제 1] f(x) = (x²−4)/(x−2) 는 x=2에서 연속인가?
풀이
- x≠2에서 f(x) = (x+2)(x−2)/(x−2) = x+2 이므로 극한은 lim(x→2) f(x) = 4.
- 그런데 x=2를 원래 식에 넣으면 분모가 0이라 f(2)는 정의되지 않음.
- 조건 ①이 깨졌으므로 x=2에서 불연속(제거 가능). f(2)=4로 정의하면 연속이 됩니다.
[예제 2] f(x) = x²+a (x<1), 3x (x≥1) 가 x=1에서 연속이 되도록 상수 a를 정하시오.
풀이
- 좌극한: lim(x→1⁻) (x²+a) = 1+a
- 우극한·함숫값: lim(x→1⁺) 3x = 3, f(1)=3
- 연속 조건 1+a = 3 → a = 2
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 극한만 보고 연속이라 판정 | 함숫값 확인 누락 | f(a)까지 반드시 확인 |
| 조각함수 경계에서 한쪽만 계산 | 좌·우극한 중 하나 빠뜨림 | 경계는 양쪽 다 |
| 약분했다고 원래 정의역 무시 | (x−2)/(x−2)=1로 착각 | 약분 전 분모=0 지점 확인 |
흔한 오해 3가지
- "그래프가 안 끊기면 무조건 연속" — 눈대중은 근거가 아닙니다. 식으로 세 조건을 확인해야 합니다.
- "극한이 있으면 연속이다" — 극한값과 함숫값이 다르면 극한이 있어도 불연속입니다.
- "불연속이면 그래프가 완전히 갈라진다" — 제거 가능한 불연속은 점 하나만 비어 있어 눈으로는 거의 안 보입니다.
한 줄로 남기는 핵심
연속의 정의는 결국 "다가가서 본 값(극한)과 실제 값(함숫값)이 같은가" 하나입니다. 이 관점은 곧이어 배울 미분계수와 도함수의 출발점이기도 합니다 — 미분은 연속인 함수에서만 매끄럽게 정의되기 때문입니다.
연속은 "이어져 있다"가 아니라 "극한값 = 함숫값" 이다 — 판정은 늘 이 등식 하나로 돌아온다.
개념을 '안다'와 '판정할 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 미적분Ⅰ을 극한→연속→미분 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다. 연속처럼 정의가 조건 세 개로 딱 떨어지는 개념일수록, 제때 짚고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.