항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다. 특정 값에서만 참인 방정식과 달리, 항등식은 양변의 동류항 계수가 모두 같다는 강력한 성질을 줍니다. 이 성질로 식 안의 미지수를 구하는 방법이 미정계수법입니다. 이 글은 항등식의 뜻과 계수비교법·수치대입법을 예제로 정리합니다. 공통수학1 '다항식'에서 항등식이 처음 헷갈리는 고1에게 맞습니다.
항등식이란 무엇인가?
2x + 3 = 5는 x=1에서만 참인 방정식이지만, (x+1)² = x²+2x+1은 모든 x에서 참인 항등식입니다.
항등식이면 양변의 계수가 각각 같다 — 이 한 줄이 미정계수법의 출발점입니다.
| 구분 | 방정식 | 항등식 |
|---|---|---|
| 참이 되는 값 | 특정 값만 | 모든 값 |
| 핵심 성질 | 근을 구함 | 계수끼리 같음 |
| 대표 활용 | 해 찾기 | 미지수 결정 |
미정계수법 두 방법
2x² − x + 3 = a(x−1)² + b(x−1) + c가 항등식일 때 a, b, c를 구해 봅시다.
- 계수비교법 — 우변을 전개하면
ax² + (−2a+b)x + (a−b+c). 좌변과 비교하면 a=2, −2a+b=−1 → b=3, a−b+c=3 → c=4. - 수치대입법 — 편한 값을 넣어 항을 없앱니다. x=1을 넣으면 (x−1) 항이 모두 사라져 좌변 4 = c, 곧 c=4를 즉시 얻습니다.
[검산] a=2, b=3, c=4를 넣고 x=2 확인: 좌변 2·4−2+3=9, 우변 2·1+3·1+4=9. 일치하므로 정답입니다.
흔한 실수 3가지
- 항등식과 방정식을 섞음 — '계수끼리 같다'는 성질은 항등식일 때만 씁니다. 방정식에 쓰면 틀립니다.
- 한 값만 대입하고 끝냄 — 수치대입법은 미지수 개수만큼 서로 다른 값을 넣어야 합니다. 한 번으로는 부족합니다.
- 검산 생략 — 다른 x값 하나만 더 넣어 보면 계산 실수가 바로 드러납니다.
두 방법은 경쟁 관계가 아닙니다. 인수가 있어 특정 값에서 항이 사라지면 수치대입법이 빠르고, 그렇지 않으면 계수비교법이 확실합니다. TimeLevelUp은 이런 개념 단원을 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 다시 띄워 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.