곱셈공식은 자주 나오는 곱셈의 전개 결과를 미리 외워, 매번 분배법칙으로 풀지 않고 바로 답을 쓰는 도구입니다. 여기에 공식을 거꾸로 정리한 변형까지 익히면, 합·곱만 주어진 대칭식 문제도 근을 구하지 않고 풀립니다. 이 글은 공통수학1 '다항식의 연산'을 배우는 고1을 위해 핵심 공식과 변형, 자주 틀리는 지점을 예제로 정리합니다.
반드시 외우는 곱셈공식
| 공식 | 전개 결과 |
|---|---|
| (a±b)² | a² ± 2ab + b² |
| (a+b)(a−b) | a² − b² |
| (a+b+c)² | a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca |
| (a±b)³ | a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ |
| (a+b)(a²−ab+b²) | a³ + b³ |
| (a−b)(a²+ab+b²) | a³ − b³ |
세제곱 공식은 가운데 두 항의 부호가, 세 문자 제곱은 교차곱 세 항이 생명입니다.
곱셈공식의 변형 — 합·곱으로 되짚기
시험은 a, b를 직접 주지 않고 합(a+b)과 곱(ab)만 주는 경우가 많습니다. 이때 다음 변형을 쓰면 근을 구하지 않고도 값이 나옵니다.
- a² + b² = (a+b)² − 2ab
- (a−b)² = (a+b)² − 4ab
- a³ + b³ = (a+b)³ − 3ab(a+b)
- a³ − b³ = (a−b)³ + 3ab(a−b)
예제로 흐름 잡기
[예제] x + 1/x = 3 일 때, x² + 1/x² 과 x³ + 1/x³ 의 값은?
풀이
- x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 3² − 2 = 7
- x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 3³ − 3·3 = 27 − 9 = 18
곱셈공식의 변형을 알면 x 값을 구할 필요가 없습니다. 합만으로 제곱·세제곱의 합이 바로 나옵니다.
흔한 오해 3가지
- "(a−b)³ = a³−b³ 이다" — 아닙니다. 가운데 항이 살아 있어 a³ − 3a²b + 3ab² − b³ 입니다. a³−b³은 (a−b)(a²+ab+b²).
- "(a+b+c)² = a²+b²+c² 이다" — 교차곱 2ab+2bc+2ca를 빠뜨린 대표적 실수입니다.
- "변형은 안 외워도 그때 유도하면 된다" — 시험장에서 유도하다 부호를 틀립니다. 네 개는 손에 익혀 두는 편이 빠르고 안전합니다.
한 줄로 남기는 핵심
곱셈공식은 "전개하라"가 아니라 "전개하지 말고 결과를 꺼내라"는 신호입니다. 변형까지 익히면 합·곱만으로 대칭식이 풀립니다.
자주 나오는 전개는 외워서 건너뛰고, 합·곱만 주어지면 변형으로 되짚는다 — 이것이 다항식 계산 속도의 절반입니다.
개념을 '안다'와 '빠르게 쓴다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 쌓이지 않도록 학습 리듬을 설계합니다. 곱셈공식처럼 '외워서 쓰는' 개념일수록 제때 반복해 손에 익히는 것이 점수를 안정시킵니다.