두 직선의 교점을 지나는 직선은 교점 좌표를 먼저 구하지 않아도 됩니다. 두 직선의 식을 하나로 묶는 '직선다발'을 쓰면 계산이 짧아집니다. 이 글은 공통수학2 직선의 방정식을 배우는 학생을 위해, 직선다발 f+kg=0과 '정점을 지나는 직선'을 예제로 정리합니다.
교점을 구하지 않고 어떻게 세우나?
두 직선 f=a₁x+b₁y+c₁=0, g=a₂x+b₂y+c₂=0의 교점을 P라 하면, f+kg=0 은 k가 무엇이든 P를 지나는 직선입니다(P에서 f=0, g=0이므로 f+kg=0도 성립).
| 구분 | 식 | 핵심 |
|---|---|---|
| 직선다발 | f+kg=0 | 교점 P를 지나는 직선 전체(단, g=0 제외) |
| 정점 문제 | k(…)+(…)=0 | k에 무관한 고정점 → 두 괄호=0 연립 |
교점을 지나는 직선은 f+kg=0으로, 정점 문제는 'k로 묶어 각 괄호=0'으로 — 둘 다 교점을 직접 안 구한다.
예제로 확인하기
[예제] x+y−3=0과 2x−y=0의 교점을 지나고 (1,4)를 지나는 직선은?
- 직선다발로 놓기: (x+y−3)+k(2x−y)=0.
- (1,4) 대입: (1+4−3)+k(2−4)=2−2k=0 → k=1.
- 정리하면 3x−3=0, 즉 x=1. (1,4)와 교점 (1,2)를 모두 지남 ✓.
흔한 실수 3가지
- g=0을 빠뜨림 — f+kg=0은 g=0 직선 자신은 못 나타냅니다. 답이 g=0꼴로 의심되면 따로 확인하세요.
- 정점 문제에서 k로 안 묶음 — 매개변수가 든 직선은 k에 대해 정리해 괄호 두 개로 묶어야 고정점이 보입니다.
- 교점을 굳이 먼저 구함 — 교점 좌표가 지저분할 때 직접 구하면 분수 계산이 늘어납니다. 묶는 방법이 더 빠릅니다.
한 줄로 남기는 핵심
교점을 지나는 직선은 f+kg=0, 정점은 k로 묶어 각 괄호를 0으로. 교점 좌표를 구하지 않는 것이 요령입니다.
이처럼 '공식보다 관점'이 점수를 가르는 단원은 예제 유형을 정리해 두는 습관이 중요합니다. TimeLevelUp은 공통수학 개념을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 반복되지 않도록 돕습니다.