유리함수 y=k/x(k≠0) 는 두 좌표축을 점근선으로 하는 매끈한 곡선입니다. 핵심은 — x=0, y=0에는 절대 닿지 못한다는 것과, 식이 y=k/(x-p)+q로 바뀌면 이 점근선이 통째로 (p, q)로 옮겨간다는 것입니다. 이 글은 기본형의 모양, 점근선의 이유, 평행이동 후 정의역·치역을 예로 정리합니다.
y=k/x의 그래프는 어떤 모양인가?
| k의 부호 | 지나는 사분면 | 점근선 |
|---|---|---|
| k>0 | 제1·3사분면 | x축, y축 |
| k<0 | 제2·4사분면 | x축, y축 |
정의역은 x≠0, 치역은 y≠0이며, |k|가 클수록 곡선이 원점에서 멀어집니다. 그래프는 원점에 대해 점대칭입니다.
유리함수는 점근선에 '가까워지되 닿지 않는' 곡선이다. 정의역·치역에서 빠지는 값이 곧 점근선이다.
평행이동하면 무엇이 바뀌나?
- y=k/(x-p)+q 는 y=k/x를 x축으로 p, y축으로 q만큼 옮긴 것입니다.
- 점근선: x=p, y=q로 이동합니다.
- 정의역·치역: x≠p, y≠q. 대칭의 중심도 (p, q)로 옮겨갑니다.
예로 y=1/(x-2)+3은 점근선이 x=2, y=3이고 정의역 x≠2, 치역 y≠3입니다.
흔한 실수 3가지
- 분모를 0으로 두기 — x=p는 정의역에서 제외됩니다. 이 값이 세로 점근선입니다.
- 점근선을 원점으로 고정 — 평행이동한 식은 점근선도 함께 옮겨집니다.
- k의 부호 무시 — 부호에 따라 지나는 사분면이 정반대가 됩니다.
유리함수는 뒤에 나오는 무리함수·유리식 계산과 그래프 해석의 바탕이 됩니다. TimeLevelUp은 공통수학2를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, 점근선처럼 반복해 쓰이는 개념을 제때 다시 만나도록 학습 리듬을 설계합니다.