역함수 f⁻¹ 는 f가 보낸 값을 원래 자리로 되돌리는 함수입니다. 핵심은 두 가지 — f가 일대일대응일 때만 존재하고, y=f(x)에서 x와 y를 맞바꿔 x=f(y)로 놓은 뒤 y에 대해 풀면 구해집니다. 이 글은 존재 조건, 구하는 순서, 그래프의 y=x 대칭을 예로 정리합니다.
역함수는 어떻게 구하나?
- y=f(x) 로 놓습니다.
- x와 y를 맞바꿉니다 → x=f(y).
- y에 대해 풀어 y=f⁻¹(x)로 정리합니다.
예로 y=2x+1이면 x=2y+1 → y=(x-1)/2, 즉 f⁻¹(x)=(x-1)/2입니다.
원함수와 무엇이 뒤바뀌나?
| 구분 | 원함수 f | 역함수 f⁻¹ |
|---|---|---|
| 정의역 | A | f의 치역 |
| 치역 | f의 치역 | A |
| 그래프 | y=f(x) | y=x에 대칭 |
역함수는 정의역과 치역을 맞바꾼 함수다. 그래서 그래프가 y=x를 거울로 삼아 접힌다.
또 (f⁻¹∘f)(x)=x, (f∘f⁻¹)(x)=x가 성립합니다. 두 함수를 이어 붙이면 제자리로 돌아온다는 뜻입니다.
흔한 실수 3가지
- 일대일대응 확인 없이 역함수 만들기 — y=x²처럼 두 x가 한 y로 가면 정의역을 제한해야 역함수가 생깁니다.
- 1/f(x)와 헷갈리기 — f⁻¹(x)는 역수가 아니라 '거꾸로 대응'입니다.
- 정의역·치역 교환을 빼먹기 — 원함수의 치역이 역함수의 정의역이 됩니다.
역함수는 뒤에 나오는 지수·로그함수의 대칭 관계로 곧장 이어집니다. TimeLevelUp은 공통수학2를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, y=x 대칭처럼 반복해 쓰이는 개념을 제때 다시 만나도록 학습 리듬을 설계합니다.