합성함수는 한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 이어 붙인 함수입니다. (g∘f)(x)=g(f(x))로, 안쪽 f를 먼저 계산해 그 값을 g에 넣습니다. 이 글은 합성의 계산 순서, 합성이 가능하려면 정의역·치역이 어떻게 맞물려야 하는지, 순서를 바꾸면 왜 값이 달라지는지를 정리합니다.
(g∘f)(x)는 어떤 순서로 계산하나?
| 기호 | 뜻 | 계산 순서 |
|---|---|---|
| (g∘f)(x) | g(f(x)) | f 먼저 → g 나중 |
| (f∘g)(x) | f(g(x)) | g 먼저 → f 나중 |
기호는 오른쪽 함수가 먼저 작동합니다. f(x)=x+1, g(x)=x²로 확인해 보면 (g∘f)(x)=g(x+1)=(x+1)², (f∘g)(x)=f(x²)=x²+1입니다.
합성은 순서가 생명입니다. g∘f와 f∘g는 일반적으로 다른 함수입니다.
합성이 가능하려면 무엇이 맞아야 하나?
- f의 치역 ⊆ g의 정의역 — f가 뱉은 값을 g가 받을 수 있어야 g∘f가 정의됩니다.
- 정의역은 f의 정의역 — g∘f의 정의역은 안쪽 f의 정의역을 따릅니다.
- 결합법칙은 성립 — (h∘g)∘f = h∘(g∘f)이지만, 교환법칙은 성립하지 않습니다.
합성함수의 정의역은 '가장 안쪽 함수'의 정의역에서 출발합니다.
흔한 실수 3가지
- 순서 뒤집기 — g∘f를 f(g(x))로 계산. 안쪽부터라는 규칙을 놓친 경우입니다.
- 정의역 확인 생략 — f의 치역이 g의 정의역을 벗어나면 합성 자체가 정의되지 않습니다.
- g∘f=f∘g로 착각 — 특수한 경우(항등함수·역함수 등)만 같고, 일반적으로는 다릅니다.
합성함수는 이후 역함수·미분의 연쇄법칙까지 이어지는 뼈대입니다. TimeLevelUp은 공통수학2를 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, 합성함수처럼 뒤에서 반복해 쓰이는 개념을 제때 다시 만나도록 학습 리듬을 설계합니다.