명제 단원에서 역·이·대우는 '만드는 법'보다 참·거짓이 어떻게 묶이는지가 핵심입니다. 결론부터 말하면, 명제와 대우는 항상 같고, 역과 이도 서로 대우라 함께 움직입니다. 이 두 묶음만 잡으면 네 문장의 참·거짓을 따로 외울 필요가 없습니다. 공통수학2 집합과 명제를 처음 배우는 고1에게 맞는 정리입니다.
역·이·대우, 어떻게 만드나?
명제 p → q(가정 p, 결론 q)에서 출발합니다.
| 이름 | 형태 | 만드는 법 |
|---|---|---|
| 명제 | p → q | 기준 |
| 역 | q → p | 가정·결론 자리 바꿈 |
| 이 | ~p → ~q | 양쪽 모두 부정 |
| 대우 | ~q → ~p | 자리 바꾸고 + 부정 |
명제와 대우는 논리적으로 같은 문장(동치)이라 참·거짓이 항상 일치한다.
참·거짓은 두 묶음으로 움직인다
- 명제 = 대우 — 둘은 동치라 참·거짓이 항상 같다.
- 역 = 이 — 역과 이는 서로 대우 관계라 함께 참이거나 함께 거짓이다.
- 명제가 참이라도 역은 모른다 — 참일 수도, 거짓일 수도 있다. 따로 따져야 한다.
예제로 확인해 봅시다. 명제 "x=1이면 x²=1이다"(참)에서:
- 역: "x²=1이면 x=1이다" → 거짓 (x=-1이라는 반례)
- 이: "x≠1이면 x²≠1이다" → 거짓 (x=-1이면 x≠1인데 x²=1)
- 대우: "x²≠1이면 x≠1이다" → 참 (명제가 참이므로 대우도 참)
명제·대우는 참, 역·이는 거짓 — 정확히 두 묶음으로 갈립니다.
흔한 오해 3가지
- 명제가 참이면 역도 참이라고 생각한다 — 가장 많이 틀리는 지점입니다. 역은 별도로 반례를 찾아 따져야 합니다.
- 부정(~)을 결론에만 한다 — 이는 가정·결론 양쪽 모두 부정해야 합니다. 한쪽만 부정하면 다른 문장이 됩니다.
- 대우 증명을 어렵게 본다 — 원래 명제가 증명하기 까다로울 때, 동치인 대우를 증명하면 같은 결과입니다. 'p이면 q'를 직접 못 보일 때 '~q이면 ~p'로 돌아가세요.
한 줄로 남기는 핵심
네 문장을 따로 외우지 말고 '명제=대우, 역=이' 두 묶음으로 잡으면, 하나의 참·거짓만 판정해도 짝의 답이 따라옵니다.
명제를 직접 증명하기 어려우면 대우를 증명하라 — 같은 진리값이다.
TimeLevelUp으로 단원별 개념을 '안다'에서 '문제로 쓸 수 있다'까지 단계별로 기록하면, 명제처럼 헷갈리기 쉬운 단원에서 어디서 막히는지가 데이터로 남아 복습 우선순위를 정하기 쉬워집니다.