다항식의 인수분해는 결국 "차수를 어떻게 낮출까"의 문제입니다. 핵심은 — 반복되는 덩어리는 치환, x⁴+ax²+b 꼴은 복이차식, 나머지 고차식은 인수정리로 일차식을 뽑는다는 것입니다. 세 무기를 상황에 맞게 고르면 대부분 풀립니다. 이 글은 그 판단을 예제와 함께 정리합니다. 공통수학1 '다항식'에서 곱셈공식·인수분해를 배운 고1에게 맞습니다.
세 가지 도구, 언제 쓰나
| 상황 | 방법 | 예 |
|---|---|---|
| 같은 식이 반복 | 치환(덩어리를 t로) | (x²+x)² − 8(x²+x) + 12 |
| x⁴ + ax² + b 꼴 | 복이차식(완전제곱 만들기) | x⁴ + x² + 1 |
| 그 외 삼·사차식 | 인수정리 | x³ − 2x² − x + 2 |
치환과 복이차식
[치환] (x²+x)² − 8(x²+x) + 12에서 t=x²+x로 놓으면 t²−8t+12 = (t−2)(t−6). 되돌리면 (x²+x−2)(x²+x−6) = (x+2)(x−1)(x+3)(x−2).
[복이차식] x⁴+x²+1은 t=x²로는 안 쪼개집니다. (x²+1)² − x²로 보면 합차공식이 보여 (x²+x+1)(x²−x+1).
인수정리로 일차식 찾기
- 상수항의 약수(±1, ±2 …)를 P(x)에 대입해 P(a)=0인 a를 찾는다.
- 찾으면 (x−a)가 인수 — 조립제법으로 몫을 구한다.
- 몫을 다시 인수분해해 차수를 계속 낮춘다.
예제 P(x)=x³−2x²−x+2 → P(1)=0이므로 (x−1)로 나누면 몫 x²−x−2=(x−2)(x+1). 따라서 (x−1)(x−2)(x+1).
흔한 실수 3가지
- 치환 후 t를 안 되돌리기 — t의 식으로 끝내면 답이 아닙니다. 반드시 x로 복원.
- 복이차식을 t=x²로만 시도 — 안 쪼개지면 완전제곱−제곱(합차공식)을 떠올려야 합니다.
- 인수정리에서 아무 수나 대입 — a는 상수항의 약수 중에서 찾는 게 빠릅니다.
고차식은 "차수를 한 단계 낮추는 인수 하나"만 찾으면 나머지는 이차식 인수분해로 풀린다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, 인수분해처럼 이후 방정식·부등식으로 이어지는 개념을 끊기지 않게 묶어 학습 리듬을 설계합니다.