삼차·사차방정식은 근의 공식을 외워 푸는 게 아니라, 인수정리로 근 하나를 찾아 차수를 낮추는 것이 정석입니다. 차수가 3, 4여도 결국 이차식으로 내려오면 이미 아는 방법으로 풀립니다. 이 글은 유리근 후보를 찾는 순서, 조립제법으로 인수분해하는 과정, 자주 틀리는 지점을 예제로 정리합니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'을 배우는 고1에게 맞습니다.
인수정리란?
다항식 P(x)에 대해 P(a) = 0이면 (x−a)가 P(x)의 인수라는 정리입니다. 즉 대입해서 0이 되는 값을 찾으면, 그 값이 곧 근이자 인수입니다.
삼차·사차방정식 풀이의 핵심은 "근 하나만 찾으면 차수가 내려간다"는 것입니다. 첫 근은 외우는 게 아니라 대입으로 찾습니다.
근을 찾을 때는 아무 수나 넣지 않고 유리근 후보부터 봅니다. 최고차항 계수가 1이면 후보는 상수항의 약수에 ±를 붙인 값입니다.
| 단계 | 할 일 | 도구 |
|---|---|---|
| 1 | 유리근 후보 나열 | 상수항의 약수 ± |
| 2 | 대입해 근 a 찾기 | P(a)=0 확인 |
| 3 | (x−a)로 나누기 | 조립제법 |
| 4 | 남은 식 풀기 | 인수분해·근의 공식 |
예제로 흐름 잡기 (삼차)
[예제] x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
풀이
- 상수항 −6의 약수: ±1, ±2, ±3, ±6
- x=1 대입: 1 − 6 + 11 − 6 = 0 → (x−1)이 인수
- 조립제법으로 나누면 몫은 x² − 5x + 6
- x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)
- 따라서 x = 1, 2, 3
검산: 세 근의 합 1+2+3 = 6, 그리고 −(−6)/1 = 6 으로 일치합니다.
사차는 한 번 더 내린다
사차방정식도 인수정리를 두 번 쓰면 됩니다.
- 첫 근을 찾아 삼차식으로 — x⁴ − 5x³ + 5x² + 5x − 6 = 0에서 x=1 대입 시 0 → (x−1)로 나눠 x³ − 4x² + x + 6.
- 두 번째 근을 찾아 이차식으로 — x=−1 대입 시 0 → (x+1)로 나눠 x² − 5x + 6.
- 이차식을 푼다 — (x−2)(x−3) → 전체 근은 x = −1, 1, 2, 3.
- 짝수 차수만 있으면 치환 — x⁴ − 5x² + 4처럼 홀수 차수가 없으면 x²=t로 두고 t² − 5t + 4 = 0을 풀어 x²=1, 4 → x=±1, ±2.
흔한 실수 3가지
- "아무 수나 대입한다" — 유리근 후보(상수항 약수)부터 넣어야 빠릅니다. 무작정 대입은 시간만 씁니다.
- "조립제법에서 빠진 차수를 건너뛴다" — x³+2x−1처럼 x²항이 없으면 그 자리에 0을 채워 계수를 빠짐없이 적어야 합니다.
- "근 하나 찾고 멈춘다" — 차수를 낮춰 남은 이차식까지 풀어야 모든 근이 나옵니다.
한 줄로 남기는 핵심
삼차·사차방정식은 새로운 공식이 아니라 차수를 낮춰 이차로 되돌리는 문제입니다. 근 하나를 인수정리로 찾는 순간 절반이 끝납니다.
상수항의 약수를 대입해 첫 근을 찾고, 조립제법으로 차수를 내린다 — 이 한 줄이 고차방정식 풀이의 전부입니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 조립제법에서 자주 어긋나는 지점을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 누적되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.