나머지정리는 "나눗셈을 하지 않고 나머지를 구하는" 도구입니다. 핵심은 — 다항식 P(x)를 x−a로 나눈 나머지가 P(a) 라는 것입니다. 긴 조립제법 대신 x=a 한 번만 대입하면 됩니다. 이 글은 그 원리와, 나머지가 0이 되는 인수정리로의 확장을 예제로 정리합니다. 공통수학1 '다항식'을 배우는 고1에게 맞습니다.
왜 나머지가 P(a)인가
P(x)를 x−a로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R이라 하면 나누는 식이 일차이므로 R은 상수입니다.
P(x) = (x−a)Q(x) + R 에 x=a를 대입 → (a−a)Q(a)=0 → P(a) = R.
| 나누는 식 | 나머지의 차수 | 나머지 구하는 법 |
|---|---|---|
| x − a | 상수 | P(a) |
| ax − b | 상수 | P(b/a) |
| 이차식 | 일차 이하 | 대입 2회 + 연립 |
예제와 인수정리로의 확장
[예제] P(x) = x³ − 2x + 5 를 x−2로 나눈 나머지는?
풀이 P(2) = 8 − 4 + 5 = 9. (검산: (x−2)(x²+2x+2)+9 = x³−2x+5 ✓)
- 나머지만 필요하면 P(a)만 대입한다.
- P(a)=0이면 나머지 0 → (x−a)가 인수(인수정리).
- 삼차·사차식은 P(a)=0인 a를 찾아 (x−a)로 낮춰 인수분해한다.
흔한 실수 3가지
- x+2로 나눌 때 P(2)를 대입 — x+2=x−(−2)이므로 P(−2)입니다.
- 2x−1로 나눌 때 P(2)를 넣기 — 2x−1=0의 해 x=1/2, 즉 P(1/2).
- 몫까지 필요한데 나머지정리만 쓰기 — 몫이 필요하면 조립제법으로 나눠야 합니다.
나머지정리는 "나눗셈을 대입으로 바꾸는" 정리다 — 나머지만 필요하면 P(a)로 끝난다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치해, 나머지정리·인수정리·인수분해처럼 한 줄기로 이어지는 개념을 끊기지 않게 묶어 학습 리듬을 설계합니다.