로그함수 y=logₐx는 지수함수 y=aˣ의 역함수입니다. 그래서 그래프는 지수함수를 직선 y=x에 대해 뒤집은 모양이고, 정의역·치역·점근선이 지수함수와 정확히 맞바뀝니다. 이 글은 로그함수의 정의와 진수 조건, 그래프가 지나는 점과 점근선, 지수함수와의 대칭 관계를 예제와 함께 정리합니다. 대수 '지수함수와 로그함수'를 배우는 고2, 그리고 로그의 계산은 되는데 함수로 넘어오면 막히는 학생에게 맞습니다.
로그함수란?
a>0, a≠1일 때, 지수함수 y=aˣ의 역함수 y = logₐx 를 밑이 a인 로그함수라고 합니다.
로그의 정의 자체가 "aˣ=b일 때 x=logₐb"이므로, x와 y를 맞바꾼 것이 곧 역함수입니다. 지수함수에서 정의역과 치역이 통째로 뒤바뀐다고 기억하면 모든 성질이 따라옵니다.
지수함수와 로그함수의 성질을 나란히 놓으면 대칭이 한눈에 보입니다.
| 항목 | 지수함수 y=aˣ | 로그함수 y=logₐx |
|---|---|---|
| 정의역 | 실수 전체 | x > 0 (진수 조건) |
| 치역 | y > 0 | 실수 전체 |
| 지나는 점 | (0, 1) | (1, 0) |
| 점근선 | y = 0 (x축) | x = 0 (y축) |
| 증가/감소 | a>1 증가, 0<a<1 감소 | a>1 증가, 0<a<1 감소 |
그래프는 어떻게 그리나?
역함수라는 성질을 그대로 쓰는 것이 가장 빠릅니다.
- (1, 0)을 찍는다 — logₐ1=0이라 밑과 무관하게 반드시 지나는 점.
- (a, 1)을 찍는다 — logₐa=1이므로.
- 밑을 보고 방향을 정한다 — a>1이면 우상향(증가), 0<a<1이면 우하향(감소).
- y축(x=0)을 점근선으로 붙인다. 그래프는 왼쪽으로 갈수록 아래로 한없이 내려갑니다.
예를 들어 y=log₂x는 (½, −1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3)을 지납니다. 이 점들은 y=2ˣ이 지나는 점 (−1, ½), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8)의 x·y좌표를 맞바꾼 것입니다 — 그래서 두 그래프가 y=x에 대칭입니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] 로그함수 y = log₂(x−1) + 3 의 그래프의 점근선과, x=5일 때의 함숫값을 구하시오.
풀이
- y=log₂x를 x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +3 평행이동한 것.
- 진수 조건은 x−1>0, 즉 x>1. 점근선은 x=0에서 +1 되어 x = 1.
- x=5 대입: log₂(5−1) + 3 = log₂4 + 3 = 2 + 3 = 5.
여기서 핵심은 점근선(y축)도 함께 이동한다는 점입니다. 진수가 (x−1)이 되면서 정의역이 x>1로, 점근선도 x=1로 오른쪽으로 밀립니다. 진수 조건과 점근선은 항상 같이 움직입니다.
어디서 자주 막히나 — 그래프 개형 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 정의역을 실수 전체로 씀 | 진수 조건 누락 | logₐ의 진수는 항상 양수(x>0) |
| 점근선을 y=0으로 둠 | 지수함수와 혼동 | 로그함수 점근선은 y축(x=0) |
| (0, 1)을 지난다고 함 | 지나는 점 반대로 외움 | 로그함수는 (1, 0) |
| 진수 이동과 점근선 따로 계산 | 평행이동 분리 | log(x−p)면 점근선도 x=p |
흔한 오해 3가지
- "로그함수는 x가 음수여도 된다" — 안 됩니다. 진수는 항상 양수라 정의역이 x>0입니다. logₐ(음수)는 정의되지 않습니다.
- "지수함수와 로그함수는 다른 함수라 따로 외워야 한다" — 둘은 y=x에 대칭인 역함수 한 쌍입니다. 지수함수를 그릴 수 있으면 로그함수는 뒤집기만 하면 됩니다.
- "밑이 분수면 로그함수는 정의가 안 된다" — 0<a<1도 a>0, a≠1을 만족하므로 정의됩니다. 이때는 감소함수가 될 뿐입니다.
한 줄로 남기는 핵심
로그함수는 새로 외울 함수가 아니라 지수함수를 y=x에 뒤집은 것입니다 — 지나는 점 (1,0), 점근선 y축, 정의역 x>0. 나머지는 지수함수의 성질을 맞바꾸면 됩니다.
로그함수 문제가 막히면 대응하는 지수함수를 먼저 떠올려라 — 대칭 한 번이면 정의역·점근선·증감이 다 따라온다.
지수함수와 로그함수를 함께 보면 지수·로그의 계산 법칙이 왜 그래프로 이어지는지 보입니다. 개념을 '안다'와 '그릴 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 대수의 그래프 단원을 역함수 관계까지 묶어 배치하고, 대칭·평행이동에서 반복되는 실수를 다음 계획에 반영해 개형 감각이 흐트러지지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.