삼각함수는 직각삼각형의 변의 비에서 시작하지만, 고2에서는 이를 좌표(단위원)로 확장합니다. 이 확장 덕분에 90°를 넘는 각, 음의 각까지 삼각함수를 정의할 수 있게 됩니다. 이 글은 sin·cos·tan을 좌표로 정의하는 법, 사분면별 부호를 읽는 법, 그리고 삼각함수 사이의 기본 관계를 예제 검산과 함께 정리합니다. 대수 '삼각함수'를 배우는 고2에게 맞습니다.
삼각함수란 무엇인가?
좌표평면에서 원점 O를 중심으로 하는 반지름 r인 원 위의 점을 P(x, y)라 하고, x축 양의 방향(시초선)에서 동경 OP까지의 각을 θ라 합시다. 이때 삼각함수를 다음과 같이 정의합니다.
sin θ = y/r · cos θ = x/r · tan θ = y/x (단, tan은 x ≠ 0)
이 정의는 일반각과 호도법에서 각을 회전으로 확장한 것과 짝을 이룹니다. 각이 몇 도이든(90° 초과, 음수 포함) 동경 위의 점 P의 좌표만 있으면 삼각함수 값이 정해지니까요.
| 함수 | 정의 | 기억법 |
|---|---|---|
| sin θ | y/r | 세로 ÷ 반지름 |
| cos θ | x/r | 가로 ÷ 반지름 |
| tan θ | y/x | 세로 ÷ 가로(= 기울기) |
특히 tan θ = y/x는 동경의 기울기입니다. 이 관점은 그래프를 다룰 때 유용합니다.
사분면마다 부호가 다른 이유
r은 항상 양수이지만, x와 y의 부호는 사분면마다 다릅니다. 그래서 삼각함수 값의 부호도 사분면에 따라 갈립니다.
| 사분면 | x | y | 양수인 함수 |
|---|---|---|---|
| 1사분면 | + | + | sin, cos, tan 모두 |
| 2사분면 | − | + | sin만 |
| 3사분면 | − | − | tan만 (음÷음=양) |
| 4사분면 | + | − | cos만 |
각 사분면에서 양수인 함수를 1→2→3→4 순서로 '올·싸·탄·코'(All·Sin·Tan·Cos)로 외우면 부호를 헷갈리지 않습니다.
3사분면에서 tan이 양수인 게 함정입니다. y도 음수, x도 음수라 y/x는 음÷음 = 양이 되기 때문이죠.
삼각함수 사이의 관계
세 함수는 따로 노는 게 아니라 서로 묶여 있습니다.
- tan θ = sin θ / cos θ — 정의에서 (y/r)÷(x/r) = y/x
- sin²θ + cos²θ = 1 — x²+y²=r²의 양변을 r²로 나눈 것
[예제] 동경 위의 점이 P(−3, 4)일 때 sin θ, cos θ, tan θ는?
풀이
- 반지름: r = √((−3)² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
- sin θ = y/r = 4/5, cos θ = x/r = −3/5, tan θ = y/x = 4/(−3) = −4/3
- 검산: sin²θ + cos²θ = (4/5)² + (−3/5)² = 16/25 + 9/25 = 25/25 = 1 ✓
- P는 x<0, y>0이므로 2사분면 → sin만 양수. 실제로 sin=4/5(양), cos=−3/5(음), tan=−4/3(음) — 부호가 맞습니다. ✓
어디서 자주 막히나 — 개념 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| r을 음수로 둠 | 반지름 정의 혼동 | r = √(x²+y²) ≥ 0, 항상 양수 |
| 3사분면 tan을 음수로 봄 | 음÷음 계산 실수 | 음÷음 = 양, tan>0 |
| 90° 넘으면 삼각함수 없다고 봄 | 직각삼각형 정의에 갇힘 | 좌표 정의는 모든 각에 적용 |
| sin²θ를 (sin θ²)로 오해 | 표기 혼동 | sin²θ = (sin θ)², 각이 아니라 값을 제곱 |
흔한 오해 3가지
- "삼각함수는 직각삼각형에서만 정의된다" — 좌표로 확장하면 둔각·음의 각까지 정의됩니다. 직각삼각형은 특수한 경우(1사분면)일 뿐입니다.
- "sin²θ는 sin(θ²)이다" — 아닙니다. sin²θ = (sin θ)², 즉 sin θ 값을 제곱한 것입니다. 각을 제곱하는 게 아닙니다.
- "부호는 그냥 외우면 된다" — 외워도 되지만, P(x,y)의 부호에서 나온다는 원리를 알면 헷갈릴 때 언제든 되짚을 수 있습니다.
한 줄로 남기는 핵심
삼각함수는 "동경 위 점 P(x,y)의 좌표비"입니다. 정의를 좌표로 잡으면 부호도, 관계식도 모두 그림에서 읽힙니다.
sin은 세로, cos는 가로, tan은 기울기 — 좌표 하나로 세 함수가 동시에 정해진다.
이 정의 위에서 삼각함수의 그래프가 그려지고, 앞서 배운 일반각과 호도법이 각의 범위를 넓혀 줍니다. TimeLevelUp은 삼각함수처럼 정의·부호·관계식이 얽힌 단원을 개념 지도로 묶어 배치하고, 부호 실수 같은 반복 오류를 다음 계획에 반영해 같은 자리에서 두 번 넘어지지 않게 합니다.