삼각함수의 그래프 — 주기·진폭·대칭으로 파형을 읽는 법

삼각함수의 그래프는 삼각함수를 '값'이 아니라 '파형'으로 보게 해 줍니다. 사인·코사인은 파도처럼 오르내리고, 탄젠트는 끊어지며 치솟습니다. 이 파형에서 주기·진폭·대칭성만 읽을 줄 알면 복잡해 보이는 삼각함수식도 한눈에 파악됩니다. 이 글은 세 기본 그래프의 성질과 y=a sin bx의 변형을 예제 검산과 함께 정리합니다. 대수 '삼각함수'를 배우는 고2에게 맞습니다.

삼각함수 그래프란 무엇인가?

각 θ가 변할 때 삼각함수 값 sin θ, cos θ, tan θ가 어떻게 변하는지를 좌표평면에 그린 것이 삼각함수의 그래프입니다. 각을 라디안으로 두고 x축에 놓습니다.

핵심 성질은 반복입니다. 동경이 한 바퀴 돌면 삼각함수 값도 원래대로 돌아오므로, 그래프는 일정한 간격으로 같은 모양이 되풀이됩니다. 이 되풀이 간격이 주기입니다.

sin·cos는 −1과 1 사이를 오가는 파도, tan은 π마다 −∞에서 +∞로 치솟는 계단 — 이 세 실루엣이 삼각함수 그래프의 전부입니다.

왜 주기와 대칭이 그렇게 되나?

주기는 '한 바퀴'에서 나옵니다. sin·cos는 동경이 2π(한 바퀴) 돌아야 제자리이므로 주기가 2π. 반면 tan θ = y/x는 동경이 π(반 바퀴)만 돌아도 기울기가 같아지므로(원점 대칭인 반대편 동경도 기울기 동일) 주기가 π입니다.

대칭은 부호에서 나옵니다.

• sin(−x) = −sin x → 원점 대칭(기함수): x가 부호를 바꾸면 y도 부호를 바꿈
• cos(−x) = cos x → y축 대칭(우함수): x가 부호를 바꿔도 y는 그대로

또 두 그래프는 π/2만큼 어긋난 쌍둥이입니다. cos x = sin(x + π/2)이므로, 코사인은 사인을 왼쪽으로 π/2 민 것입니다. 모양은 완전히 같고 위치만 다릅니다.

y = a sin bx: 진폭과 주기 조절하기

기본 그래프 y = sin x에 계수를 붙이면 파형이 늘거나 줄어듭니다.

1. a (진폭) — 그래프를 세로로 |a|배. 치역이 −|a| ≤ y ≤ |a|가 됩니다.
2. b (주기) — 그래프를 가로로 압축·확장. 주기 = 2π/|b|.

[예제] y = 2 sin 2x의 진폭과 주기는?

풀이

• 진폭: |a| = |2| = 2 → 치역 −2 ≤ y ≤ 2
• 주기: 2π/|b| = 2π/2 = π
• 검산: x가 0→π로 갈 때 2x는 0→2π, 즉 사인이 정확히 한 주기를 돕니다. 그래서 그래프 자체의 주기는 π가 맞습니다. ✓

정리하면 a는 위아래로 늘리고(진폭), b는 좌우로 압축(주기)합니다. b가 클수록 파도가 촘촘해집니다.

어디서 자주 막히나 — 개념 점검

흔한 오해 3가지

1. "세 그래프 주기가 다 2π다" — sin·cos는 2π지만 tan은 π입니다. tan은 반 바퀴마다 같은 기울기가 되풀이되기 때문입니다.
2. "b가 크면 주기도 커진다" — 반대입니다. 주기 = 2π/|b|이므로 b가 클수록 주기는 작아지고(파도가 촘촘) 그래프가 가로로 압축됩니다.
3. "tan 그래프는 끊김 없이 이어진다" — x = π/2 + nπ에서 cos x = 0이라 tan이 정의되지 않아, 그 자리에서 수직 점근선으로 끊깁니다.

한 줄로 남기는 핵심

삼각함수 그래프는 주기(얼마마다 반복)·진폭(얼마나 크게)·대칭(어떻게 뒤집히나) 세 가지로 읽습니다. 이 셋만 잡으면 어떤 파형도 분해됩니다.

a는 위아래로, b는 좌우로, 부호는 대칭으로 — 세 축만 보면 삼각함수 그래프가 손에 잡힌다.

이로써 일반각과 호도법 → 삼각함수의 정의 → 그래프로 이어지는 삼각함수 기초가 완성됩니다. TimeLevelUp은 이렇게 '정의가 그래프로, 그래프가 방정식으로' 연결되는 단원을 개념 순서대로 배치하고, 주기·진폭 실수를 복습 계획에 반영해 파형 감각이 몸에 배도록 설계합니다.