수열의 합은 흩어진 항들을 한꺼번에 더하는 계산입니다. 항이 몇 개뿐이면 그냥 더하면 되지만, 100개, 1000개가 되면 규칙과 공식이 필요합니다. 그 규칙을 짧게 적는 기호가 시그마(Σ)이고, 자주 나오는 합에는 미리 만들어 둔 공식이 있습니다. 이 글은 Σ의 뜻과 성질, 자연수·제곱·세제곱 합 공식을 예제 검산과 함께 정리합니다. 대수 '수열'을 배우는 고2에게 맞습니다.
시그마(Σ)란 무엇인가?
시그마(Σ)는 여러 항의 합을 짧게 나타내는 기호입니다.
Σ(k=1부터 n까지) aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
Σ 아래에 시작값(k=1), 위에 끝값(n)을 적고, 오른쪽에 더할 항의 규칙(aₖ)을 씁니다. 여기서 k는 1씩 늘어나며 규칙에 대입되는 더미 문자라, k 대신 i를 써도 값은 같습니다.
예를 들어 Σ(k=1부터 4까지) 2k = 2·1 + 2·2 + 2·3 + 2·4 = 2+4+6+8 = 20 입니다. 등차수열과 등비수열에서 배운 일반항을 Σ 안에 넣으면, 그 수열의 합을 한 줄로 표현할 수 있습니다.
시그마의 성질
Σ는 합이므로, 합의 기본 성질을 그대로 따릅니다.
- Σ(aₖ + bₖ) = Σaₖ + Σbₖ — 합은 나눠서 따로 계산 가능
- Σ(c·aₖ) = c·Σaₖ — 상수는 밖으로
- Σ(k=1부터 n까지) c = cn — 상수 c를 n번 더하면 cn
복잡한 Σ는 '나누고(성질 1) 상수를 빼내고(성질 2) 공식에 넣는' 세 단계로 거의 다 풀립니다.
주의할 점: Σ(aₖ·bₖ) ≠ Σaₖ · Σbₖ 입니다. 곱의 시그마는 각각의 시그마의 곱이 아닙니다. 합만 나눠지고 곱은 나눠지지 않습니다.
자연수·제곱·세제곱 합 공식
가장 많이 쓰는 세 공식입니다.
| 합 | 공식 |
|---|---|
| Σk (1+2+…+n) | n(n+1)/2 |
| Σk² (1²+2²+…+n²) | n(n+1)(2n+1)/6 |
| Σk³ (1³+2³+…+n³) | {n(n+1)/2}² |
세제곱 합이 '자연수 합의 제곱'과 같다는 게 재미있습니다: Σk³ = (Σk)².
[예제 1] Σ(k=1부터 10까지) k² 의 값은?
풀이
- 공식: Σk² = n(n+1)(2n+1)/6, n=10 대입
- = 10 × 11 × 21 / 6 = 2310 / 6 = 385
- 검산: 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385 — 직접 더한 값과 일치. ✓
[예제 2] Σ(k=1부터 n까지) (2k−1) 을 간단히 하면?
풀이
- 성질로 나누기: Σ(2k−1) = 2Σk − Σ1 = 2·n(n+1)/2 − n = n(n+1) − n = n² − n... 잠깐, n(n+1) − n = n² + n − n = n²
- 검산(n=5): (2·1−1)+(2·2−1)+…= 1+3+5+7+9 = 25 = 5². ✓ 홀수의 합이 제곱수가 되는 유명한 결과입니다.
어디서 자주 막히나 — 개념 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| Σc를 c로 씀 | 상수합 오해 | Σ(k=1~n) c = cn (n번 더함) |
| Σ(aₖbₖ)=ΣaₖΣbₖ로 봄 | 곱을 나눔 | 곱은 나눠지지 않음 |
| 시작값이 1이 아닌데 공식 그대로 씀 | 범위 무시 | k=3부터면 앞부분을 빼서 보정 |
| 제곱합 공식의 2n+1을 n+2로 씀 | 공식 부정확 | n(n+1)(2n+1)/6 |
흔한 오해 3가지
- "Σ는 곱에도 나눠 쓸 수 있다" — 아닙니다. Σ는 합만 나눠집니다. Σ(aₖbₖ)를 ΣaₖΣbₖ로 쓰면 틀립니다.
- "Σc = c다" — Σ(k=1부터 n까지) c는 상수 c를 n번 더하는 것이라 cn입니다. k와 무관해도 항의 개수만큼 더해집니다.
- "시작값은 항상 1이다" — k=3부터 시작하는 합도 있습니다. 이때는 1부터의 합에서 앞 두 항을 빼거나, 치환으로 시작값을 맞춰야 합니다.
한 줄로 남기는 핵심
수열의 합은 Σ로 짧게 쓰고, 성질로 나누고, 공식으로 계산합니다. 이 세 단계가 어떤 합도 다루는 틀입니다.
Σ를 만나면 먼저 '나눌 수 있나(합)'를 보고, 상수를 빼낸 뒤 세 공식에 넣는다.
이 계산 도구는 수학적 귀납법에서 '합 공식이 정말 옳은지'를 증명하는 것으로 이어지고, 등차수열과 등비수열의 합을 일반화하는 데도 쓰입니다. TimeLevelUp은 수열처럼 공식이 겹겹이 쌓이는 단원을 '언제 어떤 공식을 쓰는가'의 판단까지 익히도록 배치하고, 공식 혼동을 복습 주기에 반영해 정착시킵니다.