연립이차방정식은 미지수가 두 개이고 그중 적어도 한 식이 이차인 연립방정식입니다. 푸는 원리는 하나입니다 — 차수를 낮춰 한 문자만 남기는 것. 식의 모양에 따라 일차식이 있으면 대입법, 이차식 둘이면 인수분해로 갈라집니다. 이 글은 두 갈래의 흐름과 검산을 예제로 정리합니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'을 배우는 고1, 연립이차가 막히는 학생에게 맞습니다.
두 갈래로 나뉜다
| 식의 모양 | 전략 | 핵심 |
|---|---|---|
| (일차식) + (이차식) | 대입법 | 일차식을 한 문자로 정리해 대입 |
| (이차식) + (이차식) | 인수분해 | 한 식을 (일차)×(일차)로 쪼개 대입 |
연립이차방정식은 새로운 공식이 아니라, 한 문자를 소거해 익숙한 이차방정식으로 되돌리는 작업입니다.
대입법 — 일차식이 있을 때
[예제] x − y = 1, x² + y² = 25
- 일차식 정리: x = y + 1
- 대입: (y+1)² + y² = 25 → 2y² + 2y − 24 = 0 → y² + y − 12 = 0
- 인수분해: (y+4)(y−3) = 0 → y = −4 또는 y = 3
- 되돌리기: y = 3 → x = 4, y = −4 → x = −3
검산 (4,3): 16+9=25 ✓ / (−3,−4): 9+16=25 ✓ → 해는 (4, 3), (−3, −4)
인수분해 — 이차식 둘일 때
[예제] x² − y² = 0, x² + y² = 8
첫 식을 인수분해하면 (x−y)(x+y) = 0 → x = y 또는 x = −y. 각 경우를 둘째 식에 대입합니다.
- x = y: 2x² = 8 → x = ±2 → (2, 2), (−2, −2)
- x = −y: 2x² = 8 → x = ±2 → (2, −2), (−2, 2)
차수가 같은 두 이차식은 한쪽을 인수분해하거나, 상수항을 소거해 인수분해 가능한 식을 만드는 것이 출발점입니다.
흔한 실수 3가지
- 한쪽 식에만 검산하고 끝낸다 — 연립의 해는 두 식을 모두 만족해야 합니다. 반드시 양쪽에 대입하세요.
- 되돌리기를 빠뜨린다 — y를 구했으면 일차식에 넣어 x까지 구해야 한 쌍이 완성됩니다.
- 부호 묶음을 놓친다 — x = ±y처럼 갈라지는 경우를 한쪽만 다루면 해가 절반 사라집니다.
한 줄로 남기는 핵심
연립이차방정식은 "어떻게 풀까"가 아니라 "어느 문자를 먼저 소거할까"를 정하는 문제입니다. 일차식이 있으면 대입, 없으면 인수분해 — 이 분기만 잡으면 나머지는 이차방정식 풀이입니다.
한 문자를 지워 익숙한 이차방정식으로 되돌리고, 두 식 모두에 검산한다 — 이 두 줄이 전부입니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 누적되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다. 연립이차처럼 '분기 판단'이 핵심인 단원일수록 제때 짚고 반복해 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.