이차부등식은 ax²+bx+c의 부호가 양수인지 음수인지를 묻는 문제이고, 그 답은 이차함수 그래프가 x축 위에 있는 구간인지 아래에 있는 구간인지로 읽으면 헷갈리지 않습니다. 두 근을 구하는 것까지는 이차방정식과 같고, 그다음 '바깥이냐 안쪽이냐'를 그래프로 판단하는 게 핵심입니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'을 배우는 고1에게 맞춥니다.
이차부등식의 해, 어떻게 읽나? (a > 0 기준)
먼저 양변을 정리해 최고차항 계수를 양수로 맞춥니다(음수면 양변에 −1을 곱하고 부등호를 뒤집습니다). 두 근을 α < β라 하면:
| 부등식 | 해 | 그래프로 보면 |
|---|---|---|
| ax²+bx+c > 0 | x < α 또는 x > β | x축 위(바깥) |
| ax²+bx+c < 0 | α < x < β | x축 아래(사이) |
| ax²+bx+c ≥ 0 | x ≤ α 또는 x ≥ β | 경계 포함(바깥) |
위로 볼록(a>0) 그래프에서 > 0은 바깥, < 0은 사이 — 이 한 줄이 부호 판단의 전부입니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] x² − 5x + 6 > 0 의 해를 구하시오.
풀이
- 인수분해: (x − 2)(x − 3) > 0, 두 근은 2와 3
- a = 1 > 0, 부등호가 > 0 이므로 두 근 바깥
- 해: x < 2 또는 x > 3
같은 식에서 부등호만 < 0 으로 바꾸면(x² − 5x + 6 < 0) 해는 사이, 즉 2 < x < 3 입니다.
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| > 0 인데 사이로 답함 | 그래프와 분리해 외움 | a>0이면 >0은 바깥 |
| a<0를 그대로 풂 | 부등호 처리 누락 | −1 곱하고 부등호 뒤집기 |
| D<0면 "해 없음" | 근 없음=해 없음 혼동 | >0이면 모든 실수가 해 |
흔한 오해 3가지
- "부등호가 > 면 항상 큰 쪽" — 아닙니다. a>0에서 > 0의 해는 두 근의 '바깥'(작은 쪽 + 큰 쪽 둘 다)입니다.
- "판별식이 음수면 해가 없다" — a>0이고 D<0이면 그래프가 x축 위에 떠 있어 > 0은 모든 실수, < 0만 해가 없습니다(예: x²+x+1>0).
- "중근이면 부등식도 한 점" — D=0이면 ≥0은 모든 실수(한 점에서만 등호), > 0은 그 한 점만 제외한 전체입니다.
한 줄로 남기는 핵심
이차부등식은 외울 공식이 아니라 그래프를 그려 x축 위/아래를 읽는 작업입니다. 두 근을 찍고 위로 볼록한 포물선을 떠올리면 부호는 저절로 보입니다.
근을 구한 뒤 멈추지 말고 그래프를 한 번 그린다 — 이차부등식의 실수는 대부분 여기서 사라집니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 이차부등식처럼 그래프 해석이 핵심인 단원은 틀린 유형을 다음 계획에 다시 띄워 같은 실수가 반복되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.