공통수학1 기말의 중심축은 거의 언제나 '방정식과 부등식' 단원입니다. 외울 공식이 많아 보이지만, 실제로는 판별식 → 근과 계수의 관계 → 이차함수 그래프 → 이차부등식이 하나의 척추로 이어집니다. 이 글은 기말에 나오는 핵심 개념을 한 장으로 묶어, 각 개념의 '한 줄 핵심'과 학생들이 자주 틀리는 지점을 예제와 함께 정리합니다. 공통수학1을 배우는 고1, 그리고 기말을 앞두고 개념을 빠르게 점검하려는 학생에게 맞습니다.
공통수학1 기말, 무엇이 나오나?
먼저 범위입니다. 공통수학1은 ①다항식 ②방정식과 부등식 ③경우의 수 ④행렬로 이루어지고, 보통 1학기 중간이 ①다항식 중심, 1학기 기말이 ②방정식과 부등식 중심입니다. 학교에 따라 경우의 수·행렬이 더해지므로, 범위는 반드시 학교 시험 공지로 확정하세요.
| 단원 | 기말 핵심 소단원 | 비중 |
|---|---|---|
| 방정식과 부등식 | 복소수 · 판별식 · 근과 계수의 관계 · 이차방정식과 이차함수 · 여러 가지 방정식 · 이차부등식 | ★ 기말의 중심 |
| 경우의 수 | 합·곱의 법칙 · 순열 · 조합 | 학교별 (포함 시) |
| 행렬 | 행렬의 뜻 · 행렬의 연산(곱셈 AB≠BA) | 학교별 (포함 시) |
이 글은 비중이 가장 큰 '방정식과 부등식'의 핵심 개념을 한 척추로 정리합니다.
핵심 개념을 한 척추로
기말 개념은 따로 노는 공식 더미가 아니라, 이차식 하나를 방정식·함수·부등식 세 얼굴로 보는 것입니다.
| 개념 | 한 줄 핵심 | 자주 하는 실수 |
|---|---|---|
| 복소수 | i² = −1, 켤레복소수의 곱 (a+bi)(a−bi) = a²+b² | i²를 +1로 계산, √(음수) 부호 실수 |
| 판별식 D = b²−4ac | 근의 개수·종류를 D의 부호로 판단 | a=1로 착각, 짝수판별식 D/4와 혼동 |
| 근과 계수의 관계 | α+β = −b/a, αβ = c/a | ÷a를 빠뜨림, 합의 부호 − 누락 |
| 이차방정식 ↔ 이차함수 | y=ax²+bx+c의 x절편 = 방정식의 실근 | 교점 개수와 D 부호를 연결 못 함 |
| 이차함수 최대·최소 | 표준형 a(x−p)²+q의 꼭짓점(x=p, 값 q) | 제한 구간에서 꼭짓점만 보고 끝점 무시 |
| 이차부등식 | 그래프가 x축 위/아래인 구간 | a<0일 때 부등호 안 뒤집음, 부호만 암기 |
판별식 — 근의 '개수'를 푸는 열쇠
이차방정식 ax²+bx+c=0에서 D = b²−4ac 의 부호가 근을 결정합니다.
- D > 0 → 서로 다른 두 실근 (그래프가 x축과 두 점에서 만남)
- D = 0 → 중근, 즉 서로 같은 두 실근 (그래프가 x축에 접함)
- D < 0 → 서로 다른 두 허근 (그래프가 x축과 안 만남)
b가 짝수(b=2b′)이면 D/4 = b′² − ac 로 계산이 깔끔해집니다. 단, D와 D/4의 부호는 같으므로 근 판별 결론은 동일합니다.
이차함수 — 방정식·부등식이 '그래프로' 보인다
같은 이차식을 함수로 보면 길이 열립니다. 이차방정식의 실근 = 이차함수 그래프와 x축의 교점이고, 이차부등식의 해 = 그래프가 x축 위(또는 아래)에 있는 x의 범위입니다. 그래서 부등호 방향이 헷갈릴 때는 공식이 아니라 포물선 그림을 떠올리는 게 가장 빠릅니다. 근과 계수의 관계는 별도 글에서 더 깊이 다룹니다 → 근과 계수의 관계.
예제로 한 번에 — 척추가 보이는 문제
기말 단골인 '모든 실수에서 성립하는 이차부등식' 문제는, 위 척추를 한 번에 씁니다.
[예제] 모든 실수 x에 대하여 x² − 2kx + k + 6 > 0 이 성립하도록 하는 실수 k의 값의 범위는?
풀이
- 최고차항 계수 a = 1 > 0 → 포물선이 아래로 볼록. 모든 x에서 양수이려면 그래프가 x축과 안 만나야 하므로 D < 0.
- D = (−2k)² − 4·(k+6) = 4k² − 4k − 24 = 4(k² − k − 6) = 4(k−3)(k+2)
- D < 0 ⟺ (k−3)(k+2) < 0 ⟺ −2 < k < 3
검산해 봅니다. k=0이면 x²+6 > 0 으로 항상 참(✓), k=3이면 x²−6x+9 = (x−3)² 이라 x=3에서 0이 되어 '>0'을 만족하지 못합니다(경계 제외 ✓). a>0 + D<0 = 항상 양수라는 한 줄이, 복소수·판별식·이차함수·부등식을 동시에 꿰뚫는 셈입니다.
어디서 자주 막히나 — 풀이 흐름 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| 근의 개수를 못 셈 | 판별식 적용 누락 | 이차방정식 보면 D = b²−4ac 부터 |
| 합·곱을 b, c로 읽음 | 최고차항 a 무시 | α+β=−b/a, αβ=c/a — 항상 ÷a |
| 이차부등식 방향 틀림 | 부호만 암기 | 그래프 x축 위/아래로 해석 |
| a<0 부등식을 그대로 풂 | 부호 처리 누락 | 양변에 −1 곱해 a>0으로 바꾸고 부등호 뒤집기 |
| 제한 구간 최대·최소 오답 | 꼭짓점만 확인 | 꼭짓점이 구간 밖이면 끝점에서 최대·최소 |
흔한 오해 3가지
- "공식을 다 외우면 된다" — 기말 개념은 따로 노는 공식이 아니라 이차식 하나의 세 얼굴(방정식·함수·부등식)입니다. 연결을 보면 외울 양이 줄어듭니다.
- "판별식은 근을 구하는 공식이다" — 판별식은 근을 구하는 게 아니라 근의 개수·종류를 판별합니다. '모든 실수에서 성립' 같은 조건 문제의 열쇠가 바로 이 부호입니다.
- "이차부등식은 부호 규칙만 외우면 된다" — a의 부호, 부등호 방향, 근의 위치가 얽혀 암기가 자주 엉킵니다. 포물선 그림 한 장이 규칙 전체를 대신합니다.
한 줄로 남기는 핵심
공통수학1 기말의 절반은 "이 이차식을 방정식으로 볼까, 함수로 볼까, 부등식으로 볼까" 를 고르는 일입니다. 판별식과 그래프를 척추로 두면, 흩어져 보이던 개념이 한 줄로 정렬됩니다.
기말 이차식 문제는 공식을 떠올리기 전에 포물선부터 그린다 — 이 습관이 방정식·부등식 단원의 속도를 결정합니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 같은 실수가 누적되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다. 기말처럼 범위가 넓은 시험일수록, 핵심 척추를 제때 짚고 주기적으로 다시 만나는 것이 점수를 안정시킵니다.