근의 분리는 이차방정식의 두 근을 직접 구하지 않고, 어떤 기준값 k를 두고 근이 어느 쪽에 오는지를 조건으로 잡는 문제입니다. 핵심은 a>0인 이차함수 그래프를 그려 ①판별식 D(실근 존재) ②f(k)의 부호(k가 근의 바깥/사이인지) ③축의 위치(어느 쪽으로 치우쳤는지) 세 가지를 따지는 것입니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'을 발전 단계로 넘어가는 고1에게 맞습니다.
세 가지 조건, 언제 무엇을 쓰나 (a > 0 기준)
| 두 근의 위치 | 판별식 | f(k) 부호 | 축 |
|---|---|---|---|
| 둘 다 k보다 큼 (k<α,β) | D ≥ 0 | f(k) > 0 | 축 > k |
| 둘 다 k보다 작음 (α,β<k) | D ≥ 0 | f(k) > 0 | 축 < k |
| k가 두 근 사이 (α<k<β) | — | f(k) < 0 | — |
a>0일 때 f(k)<0이면 k는 무조건 두 근 사이 — 이 한 줄이 근의 분리의 절반입니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] x² − 2mx + m + 6 = 0 의 두 근이 모두 1보다 크도록 하는 m의 값의 범위는?
풀이 (f(x)=x²−2mx+m+6, a=1>0)
- 판별식: D/4 = m² − (m+6) ≥ 0 → (m−3)(m+2) ≥ 0 → m ≤ −2 또는 m ≥ 3
- f(1) > 0: 1 − 2m + m + 6 = −m + 7 > 0 → m < 7
- 축: x = m > 1
- 세 조건의 공통 범위: 3 ≤ m < 7
세 조건을 각각 구한 뒤 수직선에 겹쳐 공통 범위를 찾는 순서가 핵심입니다.
흔한 실수 3가지
- f(k) 부호를 안 따지고 판별식·축만 씀 — 근이 k 반대편에 몰릴 수 있어 f(k)>0이 반드시 필요합니다.
- k가 사이일 때 D·축까지 계산 — a>0이면 f(k)<0 하나로 끝납니다. 조건을 과하게 걸면 답이 좁아집니다.
- a<0인데 그대로 판단 — 양변에 −1을 곱해 a>0으로 맞춘 뒤 그래프를 그립니다.
한 줄로 남기는 핵심
근의 분리는 공식 암기가 아니라 위로 볼록한 포물선을 그리고 x축과의 관계를 읽는 작업입니다. 판별식·f(k)·축을 순서대로 체크하는 습관이 실수를 없앱니다.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 근의 분리처럼 조건을 나눠 세우는 유형은 틀린 문제를 다음 계획에 다시 띄워 같은 실수가 반복되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.