로그는 "a를 몇 제곱해야 N이 되는가"라는 물음에 답하는 수입니다. 지수를 거꾸로 읽은 것이라, 지수를 이해했다면 로그는 그 뒷면일 뿐입니다. 이 글은 로그의 정의와 조건, 로그의 성질·법칙, 밑변환 공식이 왜 필요한지를 예제와 함께 정리합니다. 대수 '지수함수와 로그함수'에서 지수를 막 끝낸 고2, 그리고 로그만 나오면 손이 멈추는 학생에게 맞습니다.
로그란?
a > 0, a ≠ 1, N > 0 일 때, aˣ = N 을 만족하는 x를 logₐN 이라 쓰고 "a를 밑으로 하는 N의 로그"라 읽습니다.
logₐN = x ⟺ aˣ = N · a를 밑, N을 진수라 한다
즉 log₂8 = 3 인 이유는 2³ = 8 이기 때문입니다. 로그는 지수 자리에 있던 값을 앞으로 끌어낸 것 입니다. 지수식과 로그식은 같은 사실을 다르게 쓴 두 얼굴입니다.
| 지수식 | 로그식 | 읽는 법 |
|---|---|---|
| 2³ = 8 | log₂8 = 3 | 2를 3제곱하면 8 |
| 10² = 100 | log₁₀100 = 2 | 10을 2제곱하면 100 |
| 3⁻² = 1/9 | log₃(1/9) = −2 | 3을 −2제곱하면 1/9 |
밑과 진수의 조건은 왜 필요한가?
로그가 정의되려면 밑 a > 0, a ≠ 1 이고 진수 N > 0 이어야 합니다.
- 밑 a > 0 — 음수 밑은 거듭제곱이 오락가락해 지수를 하나로 못 정합니다.
- 밑 a ≠ 1 — 1은 몇 제곱해도 1이라, 1ˣ = N 에서 N = 1이 아니면 답이 없고 N = 1이면 무수히 많습니다.
- 진수 N > 0 — aˣ 은 a > 0일 때 항상 양수라, N ≤ 0 이 되는 x는 존재하지 않습니다.
⚠️ 시험에서 "logₐ(x−3) 이 정의되도록 x의 범위를 구하라" 는 문제는 진수 x−3 > 0 을 묻는 것입니다. 조건 확인을 빼먹으면 정답 범위가 통째로 어긋납니다.
로그의 성질·법칙은 무엇인가?
밑 조건을 만족하는 a, 그리고 M > 0, N > 0 일 때:
- logₐ1 = 0, logₐa = 1 (a⁰=1, a¹=a에서 바로)
- logₐ(MN) = logₐM + logₐN — 곱은 덧셈으로
- logₐ(M/N) = logₐM − logₐN — 나눗셈은 뺄셈으로
- logₐMᵏ = k·logₐM — 진수의 지수는 앞으로
- 밑변환: logₐN = logᵦN / logᵦa (b는 새 밑, b>0, b≠1)
법칙 2·3이 로그의 존재 이유입니다. 큰 수의 곱셈·나눗셈을 덧셈·뺄셈으로 낮춰 계산을 쉽게 만들었습니다.
예제로 흐름 잡기
[예제] log₂6 + log₂(2/3) 의 값을 구하시오.
풀이
- 법칙 2로 두 로그를 하나로: log₂6 + log₂(2/3) = log₂(6 × 2/3) = log₂4
- log₂4 = 2 (2² = 4)
- 검산: 6 × 2/3 = 4, log₂4 = 2 ✓
[예제] log₄8 의 값을 구하시오.
풀이
- 밑변환(밑을 2로): log₄8 = log₂8 / log₂4 = 3 / 2 = 3/2
- 검산: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8 ✓
어디서 자주 막히나 — 계산 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| logₐ(M+N) 을 logₐM + logₐN 으로 씀 | 곱과 합 혼동 | 덧셈이 되는 건 곱 logₐ(MN). 합의 로그는 안 쪼개짐 |
| 진수 조건을 무시하고 대입 | 정의역 누락 | 풀기 전에 진수 > 0 먼저 |
| logₐMᵏ 에서 k를 진수로 남김 | 법칙 4 미적용 | 지수 k는 앞으로 빼낸다 |
| 밑변환에서 분자·분모 뒤집음 | 공식 부정확 | logₐN = logN / loga (진수가 위) |
흔한 오해 3가지
- "로그는 지수와 다른 새 개념이다" — 아닙니다. logₐN = x 는 aˣ = N 을 뒤집어 쓴 것뿐입니다. 막히면 지수식으로 되돌려 보세요.
- "logₐ(M+N) = logₐM + logₐN 이다" — 가장 흔한 오답입니다. 덧셈으로 쪼개지는 것은 곱의 로그이지 합의 로그가 아닙니다.
- "밑이 없으면 계산 못 한다" — 밑이 다르면 밑변환 공식으로 원하는 밑으로 통일할 수 있습니다. log₄8도 밑을 2로 바꾸면 바로 풀립니다.
한 줄로 남기는 핵심
로그가 막히면 지수식으로 되돌리세요. logₐN = x 를 aˣ = N 으로 뒤집는 순간, 로그 문제의 절반은 지수 계산으로 풀립니다. 나머지 절반은 "곱을 덧셈으로" 라는 법칙 2·3이 담당합니다.
로그는 곱셈을 덧셈으로 낮추는 도구다 — 이 한 문장이 로그가 400년 전 계산 도구로 태어난 이유이자, 지금 시험에서 쓰이는 이유입니다.
지수를 먼저 다졌다면(지수 — 유리수·실수 지수까지) 로그는 그 뒷면입니다. 일정 비율로 커지는 등차수열과 등비수열에서 등비수열의 항 번호를 되찾는 데에도 로그가 쓰입니다. TimeLevelUp은 이렇게 앞뒤로 얽힌 개념들을 복습 주기에 맞춰 다시 만나게 배치해, 지수에서 생긴 구멍이 로그에서 터지지 않도록 학습 리듬을 잡아 줍니다.