등차수열과 등비수열은 "다음 항으로 넘어가는 규칙"이 각각 더하기(공차) 와 곱하기(공비) 로 일정한 수열입니다. 규칙만 잡으면 몇 번째 항이든, 처음부터 몇 항까지의 합이든 공식으로 한 번에 구할 수 있습니다. 이 글은 두 수열의 일반항과 합 공식을 정리하고, 그 공식이 왜 그렇게 생겼는지를 검산된 예제로 안내합니다. 대수 '수열'을 시작하는 고2, 그리고 일반항 세우기에서 자꾸 막히는 학생에게 맞습니다.
등차수열·등비수열이란?
수를 일정한 규칙으로 나열한 것을 수열, 각 수를 항이라 합니다. 규칙이 두 종류로 갈립니다.
| 구분 | 규칙 | 이름 | 예 |
|---|---|---|---|
| 등차수열 | 이웃 항의 차가 일정 | 공차 d | 3, 7, 11, 15, … (d=4) |
| 등비수열 | 이웃 항의 비가 일정 | 공비 r | 2, 6, 18, 54, … (r=3) |
등차는 더하며 나아가고, 등비는 곱하며 나아갑니다. 이 한 글자(차 vs 비, 덧셈 vs 곱셈)의 차이가 모든 공식의 뿌리입니다.
일반항 aₙ은 어떻게 세우나?
일반항은 제n항을 n의 식으로 쓴 것입니다. 규칙을 (n−1)번 적용한다고 생각하면 됩니다.
등차수열: aₙ = a + (n−1)d (첫째항에 공차를 n−1번 더함) 등비수열: aₙ = a·rⁿ⁻¹ (첫째항에 공비를 n−1번 곱함)
핵심은 n이 아니라 n−1 이라는 점입니다. 첫째항은 규칙을 0번 적용한 상태이므로, 제n항까지 가려면 n−1번만 나아가면 됩니다.
합 Sₙ 공식은 왜 그렇게 나오나?
등차수열의 합은 "처음과 끝을 짝지어 더한다"는 아이디어에서 나옵니다. S를 정순·역순으로 두 번 쓰고 더하면 모든 짝의 합이 (첫항+끝항)으로 같아집니다.
등차수열의 합: Sₙ = n(a + l)/2 = n{2a + (n−1)d}/2 (l = 끝항 aₙ)
등비수열의 합은 Sₙ 에 공비 r을 곱한 rSₙ 을 만들어 빼면 가운데 항이 모두 지워집니다.
등비수열의 합 (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) (r = 1이면 모든 항이 a이므로 Sₙ = na)
예제로 흐름 잡기
[예제] 첫째항 3, 공차 4인 등차수열에서 제10항과 첫 10항의 합을 구하시오.
풀이
- 일반항: aₙ = 3 + (n−1)·4 = 4n − 1
- 제10항: a₁₀ = 4·10 − 1 = 39
- 합: S₁₀ = 10(2·3 + 9·4)/2 = 10(6 + 36)/2 = 10·42/2 = 210
- 검산: 첫항 3, 끝항 39 → S = 10(3+39)/2 = 10·42/2 = 210 ✓ (두 공식 일치)
[예제] 첫째항 2, 공비 3인 등비수열에서 제5항과 첫 5항의 합을 구하시오.
풀이
- 제5항: a₅ = 2·3⁵⁻¹ = 2·81 = 162
- 합: S₅ = 2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2(243 − 1)/2 = 242
- 검산: 2+6+18+54+162 = 242 ✓
어디서 자주 막히나 — 계산 점검
| 막히는 지점 | 원인 | 교정 |
|---|---|---|
| aₙ = a + nd 로 씀 | n−1 을 n으로 | 제n항은 규칙 n−1번 적용 |
| 등비수열 합에 r=1 대입 | 분모 0 | r=1은 Sₙ = na 로 따로 |
| 공차·공비를 항끼리 빼서/나눠서 안 구함 | 정의 미사용 | d = 뒷항−앞항, r = 뒷항÷앞항 |
| 끝항 l 을 안 구하고 S = n(a+l)/2 씀 | l = aₙ 인 걸 놓침 | 먼저 aₙ 을 구해 l 자리에 |
흔한 오해 3가지
- "일반항은 aₙ = a + nd 다" — n−1이 맞습니다. 첫째항(n=1)을 넣어 a가 그대로 나오는지로 항상 검산하세요. a + 1·d 가 되면 틀린 것입니다.
- "등비수열 합 공식은 하나다" — r=1일 때는 분모 r−1이 0이라 못 씁니다. 공비가 1이 될 수 있는 문제는 반드시 경우를 나눕니다.
- "수열은 규칙만 보이면 끝이다" — 규칙을 일반항과 합 공식으로 옮겨야 제100항이나 100항의 합을 물어도 셈 없이 답합니다. 나열은 시작이지 끝이 아닙니다.
한 줄로 남기는 핵심
수열 문제는 "규칙 찾기 → 일반항 세우기 → 공식 적용"의 세 걸음입니다. 대부분의 실수는 두 번째 걸음, 일반항의 n−1 에서 납니다. 첫째항을 넣어 검산하는 습관 하나가 이 단원의 정확도를 절반 이상 끌어올립니다.
등차는 더하며, 등비는 곱하며 나아간다 — 이 한 줄에서 일반항의 n−1과 합 공식이 모두 흘러나옵니다.
등비수열의 공비 rⁿ⁻¹ 은 곧 지수의 거듭제곱이고, 항 번호 n을 되찾을 때는 로그가 쓰입니다. 수열이 지수·로그와 한 몸인 이유입니다. TimeLevelUp은 이렇게 얽힌 단원을 복습 주기에 맞춰 다시 만나게 배치해, 공식을 외웠다가 잊는 대신 필요할 때 꺼내 쓰도록 학습 리듬을 설계합니다.