복소수는 제곱하면 −1이 되는 허수단위 i(i²=−1)를 들여와 실수의 세계를 넓힌 수입니다. 이차방정식에서 판별식이 음수일 때 등장하며, 핵심은 단 하나 — i²=−1만 정확히 쓰면 사칙연산도 분모 실수화도 흔들리지 않습니다. 이 글은 정의·연산·켤레복소수를 예제로 정리합니다. 공통수학1 '방정식과 부등식'에서 복소수가 처음 막막한 고1에게 맞습니다.
복소수와 허수단위란?
실수 a, b에 대해 a + bi 꼴로 쓰는 수가 복소수입니다. 여기서 a는 실수부, b는 허수부(bi가 아니라 b)입니다.
허수단위의 정의는 i² = −1 하나뿐. 모든 계산은 여기서 출발합니다.
| 개념 | 정의 | 주의 |
|---|---|---|
| 허수단위 | i² = −1 | +1 아님 |
| 복소수 | a + bi | a, b는 실수 |
| 켤레복소수 | a + bi → a − bi | 허수부 부호만 반전 |
| i의 거듭제곱 | i, −1, −i, 1 반복 | 주기 4 |
사칙연산은 어떻게 하나?
덧셈·뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리. 곱셈은 전개 후 i²을 −1로 바꾸면 끝입니다.
- 덧셈: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
- 곱셈: (2+3i)(1−2i) = 2−4i+3i−6i² = 2−i+6 = 8−i (−6i²=+6)
- i의 거듭제곱: i³=i²·i=−i, i⁴=1 → 지수를 4로 나눈 나머지로 판단
분모 실수화 — 켤레가 열쇠
분모에 i가 있으면 분모의 켤레복소수를 위아래에 곱합니다. 켤레를 곱하면 분모가 c²+d²이라는 실수가 되기 때문입니다.
[예제] (1+i)/(2−i) = (1+i)(2+i) / (2−i)(2+i) = (2+i+2i+i²) / (4−i²) = (1+3i) / 5 = 1/5 + 3/5 i
분모 (2−i)(2+i) = 4 − i² = 5(실수)가 되는 것이 핵심입니다.
흔한 오해 3가지
- "i² = 1" — 아닙니다. i² = −1. 곱셈에서 부호가 바뀌는 모든 지점이 여기서 갈립니다.
- "a+bi의 허수부는 bi다" — 허수부는 b(i를 뺀 실수)입니다. 두 복소수가 같을 조건도 실수부·허수부를 각각 비교합니다.
- "분모 실수화는 그냥 분모를 곱한다" — 분모와 켤레를 곱해야 분모가 실수가 됩니다.
한 줄로 남기는 핵심
복소수 단원의 90%는 i²=−1과 켤레, 둘로 끝납니다. 곱셈은 i²을 −1로 치환, 나눗셈은 분모의 켤레를 곱하기 — 이 두 동작이 손에 익으면 계산 실수가 사라집니다.
복잡해 보여도 규칙은 둘뿐 — i²은 −1, 분모는 켤레로 실수화.
개념을 '안다'와 '쓸 수 있다'는 다릅니다. TimeLevelUp은 공통수학을 단원 순서와 복습 주기에 맞춰 배치하고, 틀린 유형을 다음 계획에 반영해 i²의 부호 같은 사소한 실수가 반복되지 않도록 학습 리듬을 설계합니다.